Hàm số bậc ba có dạng y = ax³ + bx² + cx + d với a ≠ 0. Khi khảo sát, điểm quan trọng nhất là đạo hàm bậc hai y′ = 3ax² + 2bx + c: số nghiệm của y′ = 0 quyết định đồ thị có hai cực trị hay không.
Các dạng đồ thị hàm số bậc ba
Ta xét dấu của b² − 3ac, vì biệt thức của phương trình y′ = 0 bằng 4(b² − 3ac).
- b² − 3ac > 0: y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt, hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Nếu a > 0, nhánh trái đi xuống và nhánh phải đi lên; nếu a < 0 thì hướng của hai nhánh đảo lại.
- b² − 3ac = 0: y′ = 0 có nghiệm kép. Hàm số không có hai cực trị; đồ thị có tiếp tuyến ngang tại điểm uốn dừng.
- b² − 3ac < 0: y′ không bằng 0 trên ℝ, hàm số đơn điệu trên toàn bộ trục số. Với a > 0 hàm số đồng biến, với a < 0 hàm số nghịch biến.
Vì dấu của hệ số a còn quyết định hướng đi của hai nhánh nên khi minh họa thường gặp bốn hình dạng cơ bản: a > 0 hoặc a < 0, kết hợp với trường hợp có hai cực trị hoặc không có hai cực trị.
Ví dụ khảo sát y = x³ + 3x² − 4
Với hàm số y = x³ + 3x² − 4, ta có y′ = 3x(x + 2). Hai điểm tới hạn là x = −2 và x = 0. Hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (0; +∞), nghịch biến trên (−2; 0).
Giá trị y(−2) = 0 và y(0) = −4, nên đồ thị có cực đại tại (−2; 0) và cực tiểu tại (0; −4).
Bốn hình dạng thường gặp
Hình dưới đây giúp nhận biết nhanh chiều đi của hai nhánh và sự xuất hiện của cực đại, cực tiểu. Khi làm bài, vẫn phải dựa vào đạo hàm và bảng biến thiên chứ không nên chỉ nhìn hình để kết luận.
Quy trình khảo sát hàm bậc ba
- Tìm tập xác định.
- Tính y′, giải y′ = 0 và lập bảng biến thiên.
- Tính các giá trị cực trị nếu có.
- Tìm giới hạn khi x → ±∞ và các giao điểm đặc biệt với trục tọa độ.
- Có thể tính y″ để tìm điểm uốn khi cần.
- Vẽ đồ thị dựa trên bảng biến thiên và các điểm đặc biệt.
