Từ khóa: toán nâng cao 8

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến  AM, đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh AM đi qua trung điểm của EF.

Giải bằng kiến thức học kì 1 (hết chương 2) lớp 8. Không dùng định lý Talet và tam giác đồng dạng.

Giải:

Cách 1:

Cách 2:

Bài toán 2: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi H là giao điểm của DN và CM, E là giao điểm của AH với BC.

a. Chứng minh: DN ⊥ CM

b. Chứng minh: AD + CE = AE

c. Kẻ HK vuông góc với DC tại K, I là giao điểm của AC vói HK. Chứng minh: IH = IK

Giải:

c. Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với C qua H, K. ∆CPQ có HK là đường trung bình và vuông góc CQ nên ∆CPQ vuông tại Q
∆CDP có DH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ∆CDP cân
Xét hai tam giác cân ADH và DCP, có AD = DC, góc AHD = EHN (đối đỉnh) = ENH (∆EHN cân) = DCP (phụ góc HCN)
=> ∆ADH = DCP (g.c.g)
=> DH = CP
Xét ∆DKH và ∆PQC, có:
DH = CP (cmt)
Góc DKH = PQC = 90°
Góc DHK = PCQ (phụ góc CHK)
Hoặc góc HDK = CPQ (góc tạo bởi các cạnh tương ứng vuông góc)
=> ∆DKH = ∆PQC (g.c.g)
=> HK = CQ
Mà ∆IKC vuông có góc KCI = 45° nên ∆IKC vuông cân
=> IK = KC = CQ/2 = HK/2
=> đpcm

Bài toán: Tính a + b biết a, b là 2 số nguyên tố thỏa mãn a^2 – 7b – 4 = 0.

Giải:

Bài toán: Chứng minh không tồn tại n nguyên để n^2 + 12n + 2022 là số chính phương.

Giải:

Bài toán: Tìm 3 số nguyên tố có tích bằng 5 lần tổng của 3 số đó.

Giải:

Cách của Bình: để tránh xét nhiều trường hợp, có thể sử dụng thêm tính chất sắp xếp biến do tính chất đối xứng của hai biến B và c!
Ko mất tính tổng quát, giả sử b>c ≥2 thì lúc này chỉ cần xét 2 trường hợp trong đó một trường hợp thỏa mãn, một trường hợp loại thay vì xét 4 Trường hợp!

Hướng dẫn giải: