Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y
Giải:
Cách 1: Cách thông thường, áp dụng cho nhiều bài tìm nghiệm nguyên của phương trình.
Ta có thể viết lại phương trình theo dạng:
x^2 – x(y+1) + y^2 – y = 0
Đây là một phương trình bậc hai đối với x, với hệ số a = 1, b = – (y + 1) và c = y^2 – y. Áp dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:
x = [(y+1) ± sqrt((y+1)^2 – 4(y^2 – y))] / 2 x = [(y+1) ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)] / 2
Để x là số nguyên, thì mẫu số phải là một ước của tử số (y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)). Như vậy, ta cần giải các phương trình sau để tìm giá trị nguyên của y:
y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = 0 y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = ± 1
Giải các phương trình này, ta có các giá trị của y là:
y = 0 hoặc y = 2
Khi đó, ta tính được các giá trị của x tương ứng:
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x,y) = (0,0), (2,0), (1,2) và (3,2).
Cách 2:
Biến đổi PT đã cho thành (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2 bằng cách nhân cả 2 vế của phương trình với 2:
x^2+y^2=xy+x+y
⇔ 2x^2+2y^2=2xy+2x+2y
⇔ (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=2
⇔ (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2
Đến đây các bạn tự giải tiếp được rồi nhé.
Bài toán: Giải phương trình vô tỷ $ \displaystyle y^{2}-2y-y\sqrt{{2y+3}}+6=0$
Giải:
Điều kiện: $ \displaystyle {y\ge \dfrac{{-3}}{2}}$
$ \displaystyle y^{2}-2y-y\sqrt{{2y+3}}+6=0$
$ \displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}-4y-2y\sqrt{{2y+3}}+12=0$
$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {y^{2}-6y+9} \right)+\left( {y^{2}-2y\sqrt{{2y+3}}+2y+3} \right)=0$
$ \displaystyle \Leftrightarrow (y-3)^{2}+(y-\sqrt{{2y+3}})^{2}=0$
$ \displaystyle \Leftrightarrow y=3$ (thỏa mãn)
Vậy $y=3$ là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài toán: Giải phương trình
$\sqrt{x+1}-4 x^{2}=\sqrt{3 x}-1$
Giải:
Bằng cách chuyển vế căn $3x$ sang trái, $4 x^{2}$ sang phải. Sau đó nhân liên hợp vế trái sẽ ra được nhân tử chung là $(2x-1)$
*Chú ý: Nhân liên hợp đưa về tích
Bài toán: Giải phương trình
$x^{2}+\dfrac{9 x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$
Giải:
Bằng cách thêm bớt rồi đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó giải t rồi tìm được $x$
Bài toán: Giải phương trình $ \displaystyle x^{2}-x-6=0$
Giải:
Phương trình $ \displaystyle x^{2}-x-6=0$ ⇔ $ \displaystyle x^{2}=x+6$
Ta vẽ đồ thị 2 hàm số $ \displaystyle y=x^{2}$ và $ \displaystyle y=x+6$
Nhìn vào ta thấy đồ thị 2 hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ là -2 và 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x_{1}=-2 ; x_{2}=3$.
Bài toán: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:
$ \displaystyle {{b}^{c}}+1={{2}^{a}}$
Các em theo dõi ví dụ dưới đây.
Ví dụ: Giải phương trình sau
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
TXĐ = {R}
Hướng giải:
Với phương trình vô tỉ cơ bản thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương: tách, ghép, đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích A.B = 0 hoặc A2 + B2 = 0. Nếu không sử dụng được phương pháp này, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ. Cụ thể ví dụ này ta dùng 2 cách dưới đây:
Cách 1:
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2{{x}^{2}}-2x-1=0}$
⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2x-2\left( {{{x}^{2}}+1} \right)+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+1=0}$
⇔ $ \displaystyle {2x\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$
⇔ $ \displaystyle {\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)\left( {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$
⇔ $ \displaystyle {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \\ {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \end{array}} \right.}$
+) $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{-3}}{4}$ (vô nghiệm)
+) $ \displaystyle {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0}$
⇔ $ \displaystyle {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1}$
⇔ $ \displaystyle {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \frac{1}{2}} \\ {{{x}^{2}}+1={{{(2x-1)}}^{2}}(2)} \end{array}} \right.}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.
Cách 2: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Phương pháp này được sử dụng tương đối thường xuyên sau khi các em học sinh lớp 9 đã học về cách giải phương trình bậc 2 sử dụng delta.
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
Đặt $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=t\,\,\,\,(t\ge 1)$. Phương trình trở thành:
$ \displaystyle 2{{t}^{2}}-(4x-1)t+2x-1=0$
$ \displaystyle \Delta =16{{x}^{2}}-8x+1-8(2x-1)=16{{x}^{2}}-24x+9={{(4x-3)}^{2}}$
$ \displaystyle \sqrt{\Delta }=\left| {4x-3} \right|$
$ \displaystyle {{{t}_{1}}=\frac{{4x-1+4x-3}}{4}=2x-1}$
$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$ (loại)
$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$
Với $ \displaystyle t=2x-1$ ta có:
$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1} \\ {2x-1\ge 0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.
Xem thêm nhiều bài viết hay về chương trình Toán lớp 9 tại link dưới đây: