Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y

Giải:

Cách 1: Cách thông thường, áp dụng cho nhiều bài tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Ta có thể viết lại phương trình theo dạng:

x^2 – x(y+1) + y^2 – y = 0

Đây là một phương trình bậc hai đối với x, với hệ số a = 1, b = – (y + 1) và c = y^2 – y. Áp dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x = [(y+1) ± sqrt((y+1)^2 – 4(y^2 – y))] / 2 x = [(y+1) ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)] / 2

Để x là số nguyên, thì mẫu số phải là một ước của tử số (y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)). Như vậy, ta cần giải các phương trình sau để tìm giá trị nguyên của y:

y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = 0 y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = ± 1

Giải các phương trình này, ta có các giá trị của y là:

y = 0 hoặc y = 2

Khi đó, ta tính được các giá trị của x tương ứng:

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x,y) = (0,0), (2,0), (1,2) và (3,2).

Cách 2:

Biến đổi PT đã cho thành (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2 bằng cách nhân cả 2 vế của phương trình với 2:

x^2+y^2=xy+x+y

⇔ 2x^2+2y^2=2xy+2x+2y

⇔ (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=2

⇔ (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2

Đến đây các bạn tự giải tiếp được rồi nhé.

Bài toán: Giải phương trình vô tỷ $ \displaystyle y^{2}-2y-y\sqrt{{2y+3}}+6=0$

Giải:

Điều kiện: $ \displaystyle {y\ge \dfrac{{-3}}{2}}$

$ \displaystyle y^{2}-2y-y\sqrt{{2y+3}}+6=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}-4y-2y\sqrt{{2y+3}}+12=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {y^{2}-6y+9} \right)+\left( {y^{2}-2y\sqrt{{2y+3}}+2y+3} \right)=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow (y-3)^{2}+(y-\sqrt{{2y+3}})^{2}=0$

$ \displaystyle \Leftrightarrow y=3$ (thỏa mãn)

Vậy $y=3$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài toán: Giải phương trình

$\sqrt{x+1}-4 x^{2}=\sqrt{3 x}-1$

Giải:

Bằng cách chuyển vế căn $3x$ sang trái, $4 x^{2}$ sang phải. Sau đó nhân liên hợp vế trái sẽ ra được nhân tử chung là $(2x-1)$

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

Các ví dụ giải phương trình bằng cách nhân liên hợp

*Chú ý: Nhân liên hợp đưa về tích

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

 

Bài toán: Giải phương trình

$x^{2}+\dfrac{9 x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$

Giải:

Bằng cách thêm bớt rồi đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó giải t rồi tìm được $x$

Giải một phương trình nâng cao bằng cách thêm bớt

Bài toán: Giải phương trình $ \displaystyle x^{2}-x-6=0$

Giải:

Phương trình $ \displaystyle x^{2}-x-6=0$ ⇔ $ \displaystyle x^{2}=x+6$

Ta vẽ đồ thị 2 hàm số $ \displaystyle y=x^{2}$ và $ \displaystyle y=x+6$

Ví dụ giải phương trình bậc 2 bằng đồ thị hàm số

Nhìn vào ta thấy đồ thị 2 hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ là -2 và 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x_{1}=-2 ; x_{2}=3$.

Bài tập phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác lớp 11 có lời giải kèm theo.

Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-1 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-2 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-3 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-4 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-5 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-6 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-7 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-8 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-9 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-10 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-11 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-12

Dạng bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX là dạng bài tập phương trình lượng giác cơ bản mà học sinh lớp 11 phải làm được.

Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải-1 Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải-2 Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải-3

Bài toán: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:

$ \displaystyle {{b}^{c}}+1={{2}^{a}}$

Những bài toán giải phương trình vô tỉ (vô tỷ) ở lớp 9 thường có nhiều cách giải. Trong bài viết này Baitoan.com chia sẻ 2 cách thường dùng nhất.

Các em theo dõi ví dụ dưới đây.

Ví dụ: Giải phương trình sau

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

TXĐ = {R}

Hướng giải:

Với phương trình vô tỉ cơ bản thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương: tách, ghép, đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích A.B = 0 hoặc A2 + B2 = 0. Nếu không sử dụng được phương pháp này, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ. Cụ thể ví dụ này ta dùng 2 cách dưới đây:

Cách 1:

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2{{x}^{2}}-2x-1=0}$

⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2x-2\left( {{{x}^{2}}+1} \right)+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+1=0}$

⇔ $ \displaystyle {2x\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$

⇔ $ \displaystyle {\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)\left( {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$

⇔ $ \displaystyle {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \\ {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \end{array}} \right.}$

+) $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{-3}}{4}$ (vô nghiệm)

+) $ \displaystyle {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0}$

⇔ $ \displaystyle {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1}$

⇔ $ \displaystyle {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \frac{1}{2}} \\ {{{x}^{2}}+1={{{(2x-1)}}^{2}}(2)} \end{array}} \right.}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.

Cách 2: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Phương pháp này được sử dụng tương đối thường xuyên sau khi các em học sinh lớp 9 đã học về cách giải phương trình bậc 2 sử dụng delta.

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

Đặt $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=t\,\,\,\,(t\ge 1)$. Phương trình trở thành:

$ \displaystyle 2{{t}^{2}}-(4x-1)t+2x-1=0$

$ \displaystyle \Delta =16{{x}^{2}}-8x+1-8(2x-1)=16{{x}^{2}}-24x+9={{(4x-3)}^{2}}$

$ \displaystyle \sqrt{\Delta }=\left| {4x-3} \right|$

$ \displaystyle {{{t}_{1}}=\frac{{4x-1+4x-3}}{4}=2x-1}$

$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$ (loại)

$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$

Với $ \displaystyle t=2x-1$ ta có:

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1} \\ {2x-1\ge 0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.

Xem thêm nhiều bài viết hay về chương trình Toán lớp 9 tại link dưới đây:

https://thaygiaongheo.com/lop-9/toan-lop-9/