Toán lớp 9

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

Chúng ta có thể dùng phương pháp nhân liên hợp để giải một số phương trình chứa căn thức nâng cao với mục đích xuất hiện nhân tử chung.

581

Bài toán: Giải phương trình

$\sqrt{x+1}-4 x^{2}=\sqrt{3 x}-1$

Giải:

Bằng cách chuyển vế căn $3x$ sang trái, $4 x^{2}$ sang phải. Sau đó nhân liên hợp vế trái sẽ ra được nhân tử chung là $(2x-1)$

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

Các ví dụ giải phương trình bằng cách nhân liên hợp

*Chú ý: Nhân liên hợp đưa về tích

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

 

Toán lớp 9

Giải một phương trình nâng cao bằng cách thêm bớt

631

Bài toán: Giải phương trình

$x^{2}+\dfrac{9 x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$

Giải:

Bằng cách thêm bớt rồi đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó giải t rồi tìm được $x$

Giải một phương trình nâng cao bằng cách thêm bớt

Toán lớp 9

Ví dụ giải phương trình bậc 2 bằng đồ thị hàm số

Chúng ta có thể giải được phương trình bậc hai bằng cách biến đổi đưa về tìm giao điểm giữa đồ thị của 2 hàm số.

611

Bài toán: Giải phương trình $ \displaystyle x^{2}-x-6=0$

Giải:

Phương trình $ \displaystyle x^{2}-x-6=0$ ⇔ $ \displaystyle x^{2}=x+6$

Ta vẽ đồ thị 2 hàm số $ \displaystyle y=x^{2}$ và $ \displaystyle y=x+6$

Ví dụ giải phương trình bậc 2 bằng đồ thị hàm số

Nhìn vào ta thấy đồ thị 2 hàm số cắt nhau tại điểm có hoành độ là -2 và 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x_{1}=-2 ; x_{2}=3$.

Toán lớp 11

Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải

814

Bài tập phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác lớp 11 có lời giải kèm theo.

Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-1 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-2 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-3 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-4 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-5 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-6 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-7 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-8 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-9 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-10 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-11 Bài tập phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác có lời giải-12

Toán lớp 11

Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải

763

Dạng bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX là dạng bài tập phương trình lượng giác cơ bản mà học sinh lớp 11 phải làm được.

Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải-1 Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải-2 Bài tập phương trình bậc nhất đối với sinX và cosX có lời giải-3

Trung học phổ thông

Giải phương trình nghiệm nguyên dương

681

Bài toán: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:

$ \displaystyle {{b}^{c}}+1={{2}^{a}}$

Trung học cơ sở

Giải bài toán phương trình vô tỉ khó bằng 2 cách

694

Những bài toán giải phương trình vô tỉ (vô tỷ) ở lớp 9 thường có nhiều cách giải. Trong bài viết này Baitoan.com chia sẻ 2 cách thường dùng nhất.

Các em theo dõi ví dụ dưới đây.

Ví dụ: Giải phương trình sau

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

TXĐ = {R}

Hướng giải:

Với phương trình vô tỉ cơ bản thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương: tách, ghép, đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích A.B = 0 hoặc A2 + B2 = 0. Nếu không sử dụng được phương pháp này, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ. Cụ thể ví dụ này ta dùng 2 cách dưới đây:

Cách 1:

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2{{x}^{2}}-2x-1=0}$

⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2x-2\left( {{{x}^{2}}+1} \right)+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+1=0}$

⇔ $ \displaystyle {2x\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$

⇔ $ \displaystyle {\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)\left( {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$

⇔ $ \displaystyle {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \\ {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \end{array}} \right.}$

+) $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{-3}}{4}$ (vô nghiệm)

+) $ \displaystyle {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0}$

⇔ $ \displaystyle {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1}$

⇔ $ \displaystyle {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \frac{1}{2}} \\ {{{x}^{2}}+1={{{(2x-1)}}^{2}}(2)} \end{array}} \right.}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.

Cách 2: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Phương pháp này được sử dụng tương đối thường xuyên sau khi các em học sinh lớp 9 đã học về cách giải phương trình bậc 2 sử dụng delta.

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

Đặt $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=t\,\,\,\,(t\ge 1)$. Phương trình trở thành:

$ \displaystyle 2{{t}^{2}}-(4x-1)t+2x-1=0$

$ \displaystyle \Delta =16{{x}^{2}}-8x+1-8(2x-1)=16{{x}^{2}}-24x+9={{(4x-3)}^{2}}$

$ \displaystyle \sqrt{\Delta }=\left| {4x-3} \right|$

$ \displaystyle {{{t}_{1}}=\frac{{4x-1+4x-3}}{4}=2x-1}$

$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$ (loại)

$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$

Với $ \displaystyle t=2x-1$ ta có:

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1} \\ {2x-1\ge 0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.

Xem thêm nhiều bài viết hay về chương trình Toán lớp 9 tại link dưới đây:

https://thaygiaongheo.com/lop-9/toan-lop-9/