Toán lớp 9

Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y

981

Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+y

Giải:

Cách 1: Cách thông thường, áp dụng cho nhiều bài tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Ta có thể viết lại phương trình theo dạng:

x^2 – x(y+1) + y^2 – y = 0

Đây là một phương trình bậc hai đối với x, với hệ số a = 1, b = – (y + 1) và c = y^2 – y. Áp dụng công thức giải nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

x = [(y+1) ± sqrt((y+1)^2 – 4(y^2 – y))] / 2 x = [(y+1) ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)] / 2

Để x là số nguyên, thì mẫu số phải là một ước của tử số (y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1)). Như vậy, ta cần giải các phương trình sau để tìm giá trị nguyên của y:

y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = 0 y + 1 ± sqrt(5y^2 – 2y + 1) = ± 1

Giải các phương trình này, ta có các giá trị của y là:

y = 0 hoặc y = 2

Khi đó, ta tính được các giá trị của x tương ứng:

  • Nếu y = 0, thì x = 0 hoặc x = 2
  • Nếu y = 2, thì x = 1 hoặc x = 3

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x,y) = (0,0), (2,0), (1,2) và (3,2).

Cách 2:

Biến đổi PT đã cho thành (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2 bằng cách nhân cả 2 vế của phương trình với 2:

x^2+y^2=xy+x+y

⇔ 2x^2+2y^2=2xy+2x+2y

⇔ (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=2

⇔ (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2

Đến đây các bạn tự giải tiếp được rồi nhé.

5 ( 1 bình chọn )

Bài Toán
https://baitoan.com
Baitoan.com chia sẻ các bài toán dành cho lứa tuổi mầm non, Tiểu học (cấp 1), Trung học cơ sở (THCS), Trung học phổ thông (THPT) và những bài toán khác.
Ý kiến bạn đọc (1)
  1. Nghiệm của bài viết bị sai thì phải. Nghiệm của tôi là (x1,x2,y) như sau: (1;0;0) (2;0;1) (2;1;2) Mời đọc giả và tác giả kiểm tra.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài cùng chuyên mục
Bài viết mới
Xem thêm