Phương trình có tính đối xứng theo $x,y$, vì vậy biến đổi về tổng các bình phương cho lời giải ngắn và tránh xử lý biệt thức phức tạp. Sau khi nhân 2, ta thu được một tổng ba số chính phương bằng 2.
Biến đổi thành tổng ba bình phương
Phương pháp tổng các bình phương cho phép giới hạn ngay các khả năng nguyên và tìm đủ nghiệm mà không cần thử vô hạn.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^2+y^2=xy+x+y$.
Giải:
Ta có $2x^2+2y^2=2xy+2x+2y$, tương đương $(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2$. Vì ba bình phương của số nguyên đều không âm và tổng bằng 2, bộ giá trị của chúng phải là hoán vị của $1,1,0$.
Xét các khả năng tương ứng cho $x-y$, $x-1$, $y-1$ thu được đúng sáu nghiệm: $(0,0),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,2)$. Thế lại đều thỏa phương trình ban đầu.
Lưu ý khi làm bài
Khi coi phương trình là bậc hai theo $x$, biệt thức cần dùng là $-3y^2+6y+1$. Từ biểu thức này, tiếp tục xét điều kiện để biệt thức là số chính phương và tìm các nghiệm nguyên phù hợp.
Nghiệm của bài viết bị sai thì phải. Nghiệm của tôi là (x1,x2,y) như sau: (1;0;0) (2;0;1) (2;1;2) Mời đọc giả và tác giả kiểm tra.