Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3+3x^2-4$.
Hướng dẫn:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2+6x+0$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=-2$ hoặc $ x=0$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x= -2$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(-2)=0$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x= 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=-4$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Vẽ đồ thị hàm số:
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{x+3}}{{x+1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{-1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-2}{(x+1)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to-1^+} y=\lim\limits_{x\to -1^-} y=+\infty \Rightarrow x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{x-2}}{{x-1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {1}{(x-1)^2}>0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to1^+} y=\lim\limits_{x\to 1^-} y=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{x+1}}{{x-2}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{2\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-3}{(x-2)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to2^+} y=\lim\limits_{x\to 2^-} y=+\infty \Rightarrow x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{2x-1}}{{x-1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-1}{(x-1)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to1^+} y=\lim\limits_{x\to 1^-} y=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{2x+1}}{{x-1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-3}{(x-1)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to1^+} y=\lim\limits_{x\to 1^-} y=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^4+2x^2+3$ và $y=-x^4+2x^2+3$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=4x^3+4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x=0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=3$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-4x^3+4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $ x=\pm1$
$ y\prime>0 \Leftrightarrow (-\infty;-1) \cup (0;1)$; $ y\prime<0 \Leftrightarrow x \in (-1;0) \cup (1;+\infty)$;
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0) \cup (1;+\infty)$, đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1) \cup (0;1)$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=\pm1$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(\pm1)=4$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x=0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=3$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^4-2x^2-3$ và $y=-x^4-2x^2-3$.
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=4x^3-4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $ x=\pm1$
$ y\prime>0 \Leftrightarrow x \in (-1;0) \cup (1;+\infty)$; $ y\prime<0 \Leftrightarrow (-\infty;-1) \cup (0;1)$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1) \cup (0;1)$, đồng biến trên các khoảng $(-1;0) \cup (1;+\infty)$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=0$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(0)=-3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x=\pm1$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(\pm1)=-4$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-4x^3-4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$; nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=0$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(0)=-3$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3-3x^2+3x-2$
Giải:
Khảo sát hàm số $y=x^3-3x^2+3x-2$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2-6x+3$
$ y\prime \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3-3x+1$ và $y=-x^3-3x+1$.
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2+0x-3$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=-1$ hoặc $ x=1$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x= -1$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(-1)=3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x= 1$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(1)=-1$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-3x^2+0x-3$
$ y\prime \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3$ và $y=-x^3$.
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2+0x+0$
$ y\prime \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-3x^2+0x+0$
$ y\prime \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3+3x^2-1$ và $y=-x^3+3x^2-1$.
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2+6x+0$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=-2$ hoặc $ x=0$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x= -2$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(-2)=3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x= 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=-1$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-3x^2+6x+0$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $ x=2$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, đồng biến trên khoảng $(0;2)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x= 2$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(2)=3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x= 0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=-1$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
Xét ví dụ: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\frac{-x+2}{x+1}$
Giải:
Ví dụ: Khảo sát hàm số y = x4 – 2x2 – 3.
Giải:
Bốn dạng đồ thị của hàm số trùng phương:
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 – 4
*Chú ý: 4 dạng đồ thị của hàm số bậc ba