Hàm số $y=x^3-3x^2+3x-2$ có thể viết gọn thành $y=(x-1)^3-1$. Dạng viết này giúp nhận ra đồ thị là đồ thị $y=x^3$ tịnh tiến sang phải 1 đơn vị và xuống dưới 1 đơn vị, đồng thời hỗ trợ kiểm tra kết quả khảo sát bằng đạo hàm.
Các bước khảo sát hàm số
Đạo hàm là $y\prime=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\ge0$ với mọi $x$. Đạo hàm chỉ bằng 0 tại $x=1$ nhưng không đổi dấu, vì vậy hàm số vẫn đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ và không có cực trị. Tại $x=1$ ta có $y=-1$; đây là điểm uốn và cũng là tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba này.
Khi $x\to-\infty$ thì $y\to-\infty$; khi $x\to+\infty$ thì $y\to+\infty$. Các nhận xét này phải phù hợp với bảng biến thiên và hình dạng đồ thị.
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3-3x^2+3x-2$
Giải:
Khảo sát hàm số $y=x^3-3x^2+3x-2$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2-6x+3$
$ y\prime \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } y=-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } y=+\infty$
Bảng biến thiên:
Ghi nhớ khi làm bài
Với hàm bậc ba có đạo hàm là một bình phương, cần phân biệt “đạo hàm bằng 0 tại một điểm” với “đạo hàm đổi dấu”. Chỉ khi đạo hàm đổi dấu qua nghiệm thì mới xuất hiện cực trị.
Bài tập liên quan
Bạn có thể xem thêm khảo sát hàm số bậc ba y = x³ + 3x² – 4, khảo sát y = x³ và y = -x³ và khảo sát hàm phân thức y = (2x-1)/(x-1) để luyện các dạng bài liên quan.
