Cả hai hàm đều là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$. Việc phân tích dấu đạo hàm cho phép xác định đầy đủ các khoảng đơn điệu và cực trị trước khi vẽ bảng biến thiên.
So sánh nhanh hai hàm trùng phương
Với $y=x^4+2x^2+3$, đạo hàm $4x(x^2+1)$ chỉ bằng 0 tại $x=0$; hàm giảm trên $(-\infty,0)$, tăng trên $(0,+\infty)$ và có GTNN bằng 3.
Với $y=-x^4+2x^2+3$, đạo hàm $-4x(x-1)(x+1)$ có ba nghiệm $-1,0,1$; cực đại bằng 4 tại $x=\pm1$, cực tiểu địa phương bằng 3 tại $x=0$. Khi $x\to\pm\infty$, hàm đều tiến tới $-\infty$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^4+2x^2+3$ và $y=-x^4+2x^2+3$
Giải:
Khảo sát hàm số $y=x^4+2x^2+3$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=4x^3+4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x=0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=3$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
Khảo sát hàm số $y=-x^4+2x^2+3$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-4x^3+4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $ x=\pm1$
$ y\prime>0 \Leftrightarrow (-\infty;-1) \cup (0;1)$; $ y\prime<0 \Leftrightarrow x \in (-1;0) \cup (1;+\infty)$;
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0) \cup (1;+\infty)$, đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1) \cup (0;1)$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=\pm1$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(\pm1)=4$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x=0$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(0)=3$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } y=-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } y=-\infty$
Bảng biến thiên:
Lưu ý khi làm bài
Với hàm thứ hai, hệ số của $x^4$ là âm nên khi $x\to\pm\infty$ thì $y\to-\infty$. Đây là dữ kiện cần dùng khi lập bảng biến thiên và phác họa đồ thị.
