Hai hàm đều là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục $Oy$. Dấu của hệ số $x^4$ quyết định hướng đi của hai nhánh đồ thị khi $|x|$ rất lớn.
Kiểm tra dấu đạo hàm và giới hạn ở vô cực
Với $y=x^4-2x^2-3$, $y\prime=4x(x^2-1)$, các điểm tới hạn là $-1,0,1$. Vì hệ số bậc bốn dương nên $y\to+\infty$ khi $x\to\pm\infty$.
Với $y=-x^4-2x^2-3$, $y\prime=-4x(x^2+1)$ chỉ bằng 0 tại $x=0$; hàm tăng trên $(-\infty,0)$, giảm trên $(0,+\infty)$ và cả hai phía vô cực đều tiến tới $-\infty$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^4-2x^2-3$ và $y=-x^4-2x^2-3$.
Giải:
Khảo sát hàm số $y=x^4-2x^2-3$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=4x^3-4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $ x=\pm1$
$ y\prime>0 \Leftrightarrow x \in (-1;0) \cup (1;+\infty)$; $ y\prime<0 \Leftrightarrow (-\infty;-1) \cup (0;1)$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1) \cup (0;1)$, đồng biến trên các khoảng $(-1;0) \cup (1;+\infty)$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=0$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(0)=-3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x=\pm1$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(\pm1)=-4$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } y=+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } y=+\infty$
Bảng biến thiên:
Khảo sát hàm số $y=-x^4-2x^2-3$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-4x^3-4x$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$; nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x=0$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(0)=-3$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
Lưu ý khi làm bài
Với hàm $y=x^4-2x^2-3$, hệ số của $x^4$ dương nên khi $x\to\pm\infty$ thì $y\to+\infty$. Cần dùng giới hạn này khi lập bảng biến thiên và phác họa đồ thị.
