Khảo sát hàm số $y=x^3+3x^2-4$ gồm các bước: tìm tập xác định, đạo hàm, khoảng đồng biến – nghịch biến, cực trị, giới hạn, các giao điểm đặc biệt rồi lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² – 4
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Đạo hàm:
$y’=3x^2+6x=3x(x+2)$.
$y’=0\Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=0$.
Chiều biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$.
- Hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$.
Cực trị:
- Cực đại tại $x=-2$, với $y(-2)=0$.
- Cực tiểu tại $x=0$, với $y(0)=-4$.
Giới hạn và các điểm đặc biệt của đồ thị
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}y=-\infty$ và $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
Ta có:
$x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$.
Vì vậy đồ thị cắt trục $Ox$ tại $(1;0)$ và tiếp xúc với trục $Ox$ tại điểm cực đại $(-2;0)$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;-4)$.
Ngoài ra $y”=6x+6$, nên điểm uốn là $I(-1;-2)$.
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số
Khi vẽ, nên đánh dấu các điểm $(-2;0)$, $(0;-4)$, $(1;0)$ và điểm uốn $(-1;-2)$ để hình dạng đồ thị chính xác hơn.
Xem thêm bài toán khảo sát đồ thị hàm số bậc ba, khảo sát hàm phân thức và chuyên mục Toán lớp 12.
