Bài toán quy hoạch tuyến tính này yêu cầu tối đa hóa lợi nhuận dưới hai ràng buộc: diện tích đất và lượng phân vi sinh. Ta có thể giải bằng miền nghiệm hoặc biến đổi trực tiếp để tạo một cận trên cho biểu thức lợi nhuận.
Lập hệ bất phương trình từ dữ kiện
Gọi $x,y$ lần lượt là diện tích cà rốt và khoai tây. Khi đó $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le5$ và $3x+5y\le18$. Lợi nhuận là $T=50x+75y=25(2x+3y)$.
Vì $2x+3y=\frac12(x+y)+\frac12(3x+5y)$ nên $2x+3y\le\frac12\cdot5+\frac12\cdot18=11,5$. Dấu bằng đạt được khi cả hai ràng buộc cùng chạm biên, cho $x=3,5$, $y=1,5$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh, Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần phải dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
Lời giải:
Gọi $x$ (ha) là diện tích đất trồng cà rốt.
Gọi $y$ (ha) là diện tích đất trồng khoai tây.
Điều kiện: $x \ge 0; y \ge 0$.
Theo đề bài, tổng diện tích khu đất là $5$ ha, nên ta có bất phương trình:
$x + y \le 5$ (1)
Số phân vi sinh cần dùng để trồng $x$ ha cà rốt là $3x$ (tấn).
Số phân vi sinh cần dùng để trồng $y$ ha khoai tây là $5y$ (tấn).
Vì tổng số phân vi sinh sử dụng không được vượt quá $18$ tấn, nên ta có bất phương trình:
$3x + 5y \le 18$ (2)
Tổng số tiền lãi nông trại thu được (đơn vị: triệu đồng) là:
$T = 50x + 75y$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $T$ thỏa mãn các điều kiện (1) và (2).
Biến đổi biểu thức $T$, ta có:
$T = 25(2x + 3y)$
Tách biểu thức $(2x + 3y)$ theo $(x + y)$ và $(3x + 5y)$, ta được:
$2x + 3y = \dfrac{1}{2}(x + y) + \dfrac{1}{2}(3x + 5y)$
Vì $x + y \le 5$ và $3x + 5y \le 18$, nên:
$2x + 3y \le \dfrac{1}{2} \cdot 5 + \dfrac{1}{2} \cdot 18$
$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 2,5 + 9$
$\Leftrightarrow 2x + 3y \le 11,5$
Suy ra tổng số tiền lãi là:
$T \le 25 \cdot 11,5$
$T \le 287,5$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các bất phương trình (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng. Khi đó, ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}$
Giải hệ phương trình:
Từ phương trình đầu, ta có $x = 5 – y$. Thế vào phương trình thứ hai:
$3(5 – y) + 5y = 18$
$\Leftrightarrow 15 – 3y + 5y = 18$
$\Leftrightarrow 2y = 3$
$\Leftrightarrow y = 1,5$ (thỏa mãn điều kiện)
Thay $y = 1,5$ vào $x = 5 – y$, ta được:
$x = 5 – 1,5 = 3,5$ (thỏa mãn điều kiện)
Kết luận: Nông trại cần trồng $3,5$ ha cà rốt và $1,5$ ha khoai tây để thu được mức tiền lãi cao nhất là $287,5$ triệu đồng.
Lưu ý khi làm bài
Phương án tối ưu dùng hết 5 ha đất và đủ 18 tấn phân. Thay lại: $3\times3,5+5\times1,5=18$ và lợi nhuận $50\times3,5+75\times1,5=287,5$ triệu đồng.
