Chọn phép biến đổi gọn
Hãy quan sát cấu trúc biểu thức trước khi khai triển. Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức hoặc nhóm hạng tử đúng chỗ thường giúp lời giải ngắn và dễ kiểm tra hơn.
Đề bài và lời giải
Những bài toán giải phương trình vô tỉ (vô tỷ) ở lớp 9 thường có nhiều cách giải. Trong bài viết này Baitoan.com chia sẻ 2 cách thường dùng nhất.
Các em theo dõi ví dụ dưới đây.
Ví dụ: Giải phương trình sau
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
TXĐ = {R}
Hướng giải:
Với phương trình vô tỉ cơ bản thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương: tách, ghép, đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích A.B = 0 hoặc A2 + B2 = 0. Nếu không sử dụng được phương pháp này, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ. Cụ thể ví dụ này ta dùng 2 cách dưới đây:
Cách 1:
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2{{x}^{2}}-2x-1=0}$
⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2x-2\left( {{{x}^{2}}+1} \right)+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+1=0}$
⇔ $ \displaystyle {2x\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$
⇔ $ \displaystyle {\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)\left( {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$
⇔ $ \displaystyle {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \\ {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \end{array}} \right.}$
+) $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{-3}}{4}$ (vô nghiệm)
+) $ \displaystyle {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0}$
⇔ $ \displaystyle {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1}$
⇔ $ \displaystyle {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \frac{1}{2}} \\ {{{x}^{2}}+1={{{(2x-1)}}^{2}}(2)} \end{array}} \right.}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.
Cách 2: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Phương pháp này được sử dụng tương đối thường xuyên sau khi các em học sinh lớp 9 đã học về cách giải phương trình bậc 2 sử dụng delta.
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
Đặt $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=t\,\,\,\,(t\ge 1)$. Phương trình trở thành:
$ \displaystyle 2{{t}^{2}}-(4x-1)t+2x-1=0$
$ \displaystyle \Delta =16{{x}^{2}}-8x+1-8(2x-1)=16{{x}^{2}}-24x+9={{(4x-3)}^{2}}$
$ \displaystyle \sqrt{\Delta }=\left| {4x-3} \right|$
$ \displaystyle {{{t}_{1}}=\frac{{4x-1+4x-3}}{4}=2x-1}$
$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$ (loại)
Với $ \displaystyle t=2x-1$ ta có:
$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1} \\ {2x-1\ge 0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.
