Từ khóa: toán nâng cao 9
Bài toán: Cho ΔABC nội tiếp (O) có đường kính BC sao cho AB<AC. Gọi K là trung điểm của AC, tiếp tuyến tại C của (O) và tia OK cắt nhau ở D.
a) Chứng minh OK ⊥ AC,
b) BD cắt (O) tại E. Chứng minh DE.DB=DK.DO
c) Gọi S là giao điểm của tia KE và tia BA. Chứng minh OA//CS.
Giải:
Ta có DE.DB=DK.DO(cmt)
⇒ DE/DO=DK/DB
có góc BDO chung
⇒ tam giác DEK~DOB( c g c)
⇒ góc DKE=DBO(1)
áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OCD vuông tại C có đường cao CK ta có:
OK.OD=OC^2=OB^2(Vì OB=OC=R)
⇒ OK/OB=OB/OD
có góc DOB chung
⇒ tam giác OKB~OBD( c g c)
⇒ góc OKB=DBO(2)
từ(1) và(2) suy ra góc DKE=OKB
mà góc DKE+AKS=OKB+AKB=90 độ
⇒ góc AKS=AKB
⇒ KA là tia phân giác của góc BKS
Chỉ ra KA vuông góc vs BS
⇒ tam giác KBS cân tại K
⇒ AB=AS
có OB=OC
⇒ OA là đường trung bình của tam giác BSC.
⇒ OA//CS( đpcm)
Bài toán: Cho nửa đường tròn (O;R) có AB là đường kính. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O;R). Trên nửa đường tròn (O;R) lấy điểm M (MA<MB). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O;R) cắt Ax tại C và By tại D.
a) Chứng minh: CD= AC+BD
b) Chứng minh: góc COD= 90 độ và AC.BD= R^2
c) Đường thẳng BM cắt Ax tại N, AM cắt ON tại E và cắt OC tại H. Đường thẳng NH cắt AB tại F. K là giao điểm của OC và EF. Chứng minh: AN^2= NM. NB và KE= KF
Hướng dẫn giải
Bài toán: Cho $x, y \in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $21 x^2-36 x y+44 y^2 \leq 27$. Tìm max min của $A=x+2 y$.
Giải:
Vì $A = x + 2y$ nên $2y = A – x$. Ta viết lại biểu thức ban đầu:
$\begin{array}{c} 21{x^2} – 18x\left( {A – x} \right) + 11{\left( {A – x} \right)^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 21{x^2} – 18Ax + 18{x^2} + 11{A^2} – 22Ax + 11{x^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 50{x^2} – 40Ax + 11{A^2} – 27 \le 0 \quad (1) \end{array}$
Coi biểu thức (1) là một tam thức bậc 2 theo x. (1) có hệ số cao nhất dương, nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta_x \ge 0$, tức là:
$\begin{array}{c} {\left( {40A} \right)^2} – 4 \times 50 \times \left( {11{A^2} – 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {A^2} \le \dfrac{{5400}}{{600}} = 9\\ \Leftrightarrow – 3 \le A \le 3 \end{array}$
Khi $A=3$ thì $x=y=\dfrac{6}{5}$. Khi $A=-3$ thì $x=y=\dfrac{-6}{5}$. Cả hai điểm rơi đều hữu tỷ nên thỏa đề.
Vậy $\min A=-3$ và $\max A=3$.
Bài toán: Giải phương trình
$\sqrt{x+1}-4 x^{2}=\sqrt{3 x}-1$
Giải:
Bằng cách chuyển vế căn $3x$ sang trái, $4 x^{2}$ sang phải. Sau đó nhân liên hợp vế trái sẽ ra được nhân tử chung là $(2x-1)$
Các ví dụ giải phương trình bằng cách nhân liên hợp
*Chú ý: Nhân liên hợp đưa về tích
Bài toán: Giải phương trình
$x^{2}+\dfrac{9 x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$
Giải:
Bằng cách thêm bớt rồi đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó giải t rồi tìm được $x$
Những bài toán giải phương trình vô tỉ (vô tỷ) ở lớp 9 thường có nhiều cách giải. Trong bài viết này Baitoan.com chia sẻ 2 cách thường dùng nhất.
Các em theo dõi ví dụ dưới đây.
Ví dụ: Giải phương trình sau
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
TXĐ = {R}
Hướng giải:
Với phương trình vô tỉ cơ bản thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương: tách, ghép, đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích A.B = 0 hoặc A2 + B2 = 0. Nếu không sử dụng được phương pháp này, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ. Cụ thể ví dụ này ta dùng 2 cách dưới đây:
Cách 1:
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2{{x}^{2}}-2x-1=0}$
⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2x-2\left( {{{x}^{2}}+1} \right)+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+1=0}$
⇔ $ \displaystyle {2x\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$
⇔ $ \displaystyle {\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)\left( {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$
⇔ $ \displaystyle {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \\ {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \end{array}} \right.}$
+) $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{-3}}{4}$ (vô nghiệm)
+) $ \displaystyle {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0}$
⇔ $ \displaystyle {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1}$
⇔ $ \displaystyle {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \frac{1}{2}} \\ {{{x}^{2}}+1={{{(2x-1)}}^{2}}(2)} \end{array}} \right.}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.
Cách 2: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Phương pháp này được sử dụng tương đối thường xuyên sau khi các em học sinh lớp 9 đã học về cách giải phương trình bậc 2 sử dụng delta.
$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$
Đặt $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=t\,\,\,\,(t\ge 1)$. Phương trình trở thành:
$ \displaystyle 2{{t}^{2}}-(4x-1)t+2x-1=0$
$ \displaystyle \Delta =16{{x}^{2}}-8x+1-8(2x-1)=16{{x}^{2}}-24x+9={{(4x-3)}^{2}}$
$ \displaystyle \sqrt{\Delta }=\left| {4x-3} \right|$
$ \displaystyle {{{t}_{1}}=\frac{{4x-1+4x-3}}{4}=2x-1}$
$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$ (loại)
$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$
Với $ \displaystyle t=2x-1$ ta có:
$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1} \\ {2x-1\ge 0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.
Xem thêm nhiều bài viết hay về chương trình Toán lớp 9 tại link dưới đây: