Toán lớp 9

Giải bài toán tìm max min thỏa mãn điều kiện cho trước

105

Bài toán: Cho $x, y \in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $21 x^2-36 x y+44 y^2 \leq 27$. Tìm max min của $A=x+2 y$.

Giải:

Vì $A = x + 2y$ nên $2y = A – x$. Ta viết lại biểu thức ban đầu:

$\begin{array}{c} 21{x^2} – 18x\left( {A – x} \right) + 11{\left( {A – x} \right)^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 21{x^2} – 18Ax + 18{x^2} + 11{A^2} – 22Ax + 11{x^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 50{x^2} – 40Ax + 11{A^2} – 27 \le 0 \quad (1) \end{array}$

Coi biểu thức (1) là một tam thức bậc 2 theo x. (1) có hệ số cao nhất dương, nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta_x \ge 0$, tức là:

$\begin{array}{c} {\left( {40A} \right)^2} – 4 \times 50 \times \left( {11{A^2} – 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {A^2} \le \dfrac{{5400}}{{600}} = 9\\ \Leftrightarrow – 3 \le A \le 3 \end{array}$

Khi $A=3$ thì $x=y=\dfrac{6}{5}$. Khi $A=-3$ thì $x=y=\dfrac{-6}{5}$. Cả hai điểm rơi đều hữu tỷ nên thỏa đề.

Vậy $\min A=-3$ và $\max A=3$.

Toán lớp 9

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

Chúng ta có thể dùng phương pháp nhân liên hợp để giải một số phương trình chứa căn thức nâng cao với mục đích xuất hiện nhân tử chung.

723

Bài toán: Giải phương trình

$\sqrt{x+1}-4 x^{2}=\sqrt{3 x}-1$

Giải:

Bằng cách chuyển vế căn $3x$ sang trái, $4 x^{2}$ sang phải. Sau đó nhân liên hợp vế trái sẽ ra được nhân tử chung là $(2x-1)$

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

Các ví dụ giải phương trình bằng cách nhân liên hợp

*Chú ý: Nhân liên hợp đưa về tích

Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp Giải phương trình nâng cao bằng cách nhân liên hợp

 

Toán lớp 9

Giải một phương trình nâng cao bằng cách thêm bớt

763

Bài toán: Giải phương trình

$x^{2}+\dfrac{9 x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$

Giải:

Bằng cách thêm bớt rồi đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó giải t rồi tìm được $x$

Giải một phương trình nâng cao bằng cách thêm bớt

Trung học cơ sở

Giải bài toán phương trình vô tỉ khó bằng 2 cách

845

Những bài toán giải phương trình vô tỉ (vô tỷ) ở lớp 9 thường có nhiều cách giải. Trong bài viết này Baitoan.com chia sẻ 2 cách thường dùng nhất.

Các em theo dõi ví dụ dưới đây.

Ví dụ: Giải phương trình sau

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

TXĐ = {R}

Hướng giải:

Với phương trình vô tỉ cơ bản thường giải theo phương pháp biến đổi tương đương: tách, ghép, đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích A.B = 0 hoặc A2 + B2 = 0. Nếu không sử dụng được phương pháp này, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ. Cụ thể ví dụ này ta dùng 2 cách dưới đây:

Cách 1:

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2{{x}^{2}}-2x-1=0}$

⇔ $ \displaystyle {4x\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2x-2\left( {{{x}^{2}}+1} \right)+\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}+1=0}$

⇔ $ \displaystyle {2x\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)-\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$

⇔ $ \displaystyle {\left( {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)\left( {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1} \right)=0}$

⇔ $ \displaystyle {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \\ {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0} \end{array}} \right.}$

+) $ \displaystyle 2\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{-3}}{4}$ (vô nghiệm)

+) $ \displaystyle {2x-\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}-1=0}$

⇔ $ \displaystyle {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1}$

⇔ $ \displaystyle {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\ge \frac{1}{2}} \\ {{{x}^{2}}+1={{{(2x-1)}}^{2}}(2)} \end{array}} \right.}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.

Cách 2: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Phương pháp này được sử dụng tương đối thường xuyên sau khi các em học sinh lớp 9 đã học về cách giải phương trình bậc 2 sử dụng delta.

$ \displaystyle {(4x-1)\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2{{x}^{2}}+2x+1}$

Đặt $ \displaystyle \sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=t\,\,\,\,(t\ge 1)$. Phương trình trở thành:

$ \displaystyle 2{{t}^{2}}-(4x-1)t+2x-1=0$

$ \displaystyle \Delta =16{{x}^{2}}-8x+1-8(2x-1)=16{{x}^{2}}-24x+9={{(4x-3)}^{2}}$

$ \displaystyle \sqrt{\Delta }=\left| {4x-3} \right|$

$ \displaystyle {{{t}_{1}}=\frac{{4x-1+4x-3}}{4}=2x-1}$

$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$ (loại)

$ \displaystyle {{{t}_{2}}=\frac{{4x-1-4x+3}}{4}=\frac{1}{2}<1}$

Với $ \displaystyle t=2x-1$ ta có:

$ \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt{{{{x}^{2}}+1}}=2x-1} \\ {2x-1\ge 0} \end{array}} \right.\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $ \displaystyle x=\frac{4}{3}$.

Xem thêm nhiều bài viết hay về chương trình Toán lớp 9 tại link dưới đây:

https://thaygiaongheo.com/lop-9/toan-lop-9/

Toán lớp 9

Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 có lời giải

Baitoan.com gửi tới các bạn Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 có lời giải nội dung ôn tập chuẩn bị thi vào lớp 10.

1213