Giải bài toán tìm max min thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán: Cho $x, y \in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $21 x^2-36 x y+44 y^2 \leq 27$. Tìm max min của $A=x+2 y$.

Giải:

Vì $A = x + 2y$ nên $2y = A – x$. Ta viết lại biểu thức ban đầu:

$\begin{array}{c} 21{x^2} – 18x\left( {A – x} \right) + 11{\left( {A – x} \right)^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 21{x^2} – 18Ax + 18{x^2} + 11{A^2} – 22Ax + 11{x^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 50{x^2} – 40Ax + 11{A^2} – 27 \le 0 \quad (1) \end{array}$

Coi biểu thức (1) là một tam thức bậc 2 theo x. (1) có hệ số cao nhất dương, nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta_x \ge 0$, tức là:

$\begin{array}{c} {\left( {40A} \right)^2} – 4 \times 50 \times \left( {11{A^2} – 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {A^2} \le \dfrac{{5400}}{{600}} = 9\\ \Leftrightarrow – 3 \le A \le 3 \end{array}$

Khi $A=3$ thì $x=y=\dfrac{6}{5}$. Khi $A=-3$ thì $x=y=\dfrac{-6}{5}$. Cả hai điểm rơi đều hữu tỷ nên thỏa đề.

Vậy $\min A=-3$ và $\max A=3$.