Ta coi $A=x+2y$ là tham số, biểu diễn $y=(A-x)/2$ rồi thế vào điều kiện. Khi đó bài toán hai biến trở thành điều kiện để một bất phương trình bậc hai theo $x$ có nghiệm.
Dùng biệt thức để giới hạn giá trị của A
Sau khi thế, điều kiện trở thành $50x^2-40Ax+11A^2-27\le0$. Vì hệ số $x^2$ dương, tồn tại $x$ thỏa mãn khi biệt thức không âm: $5400-600A^2\ge0$.
Suy ra $A^2\le9$, hay $-3\le A\le3$. Khi $A=3$, nghiệm kép là $x=6/5$, $y=9/10$; khi $A=-3$, ta có $x=-6/5$, $y=-9/10$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Cho $x, y \in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $21 x^2-36 x y+44 y^2 \leq 27$. Tìm max min của $A=x+2 y$.
Giải:
Vì $A = x + 2y$ nên $2y = A – x$. Ta viết lại biểu thức ban đầu:
$\begin{array}{c} 21{x^2} – 18x\left( {A – x} \right) + 11{\left( {A – x} \right)^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 21{x^2} – 18Ax + 18{x^2} + 11{A^2} – 22Ax + 11{x^2} \le 27\\ \Leftrightarrow 50{x^2} – 40Ax + 11{A^2} – 27 \le 0 \quad (1) \end{array}$
Coi biểu thức (1) là một tam thức bậc 2 theo x. (1) có hệ số cao nhất dương, nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta_x \ge 0$, tức là:
$\begin{array}{c} {\left( {40A} \right)^2} – 4 \times 50 \times \left( {11{A^2} – 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {A^2} \le \dfrac{{5400}}{{600}} = 9\\ \Leftrightarrow – 3 \le A \le 3 \end{array}$
Khi $A=3$ thì $x=\dfrac{6}{5},\ y=\dfrac{9}{10}$. Khi $A=-3$ thì $x=\dfrac{-6}{5},\ y=\dfrac{-9}{10}$. Cả hai điểm rơi đều hữu tỷ nên thỏa đề.
Vậy $\min A=-3$ và $\max A=3$.
Lưu ý khi làm bài
Khi xét trường hợp xảy ra dấu bằng, cần dùng đúng điều kiện $x+2y=\pm3$ để xác định điểm rơi. Điều kiện này giúp kiểm tra lại các giá trị của $x$, $y$ trước khi kết luận Max hoặc Min của $A$.
