Chứng minh tổng 1+2+2²+…+2^2024 chia hết cho 31 bằng cách nhóm 5 số hạng liên tiếp.
Nhóm 5 lũy thừa liên tiếp
Ta có $1+2+2^2+2^3+2^4=31$. Tổng từ $2^0$ đến $2^{2024}$ có 2025 số hạng, chia vừa thành 405 nhóm, mỗi nhóm 5 số hạng.
Đặt nhân tử chung
Mỗi nhóm sau nhóm đầu đều có dạng $2^{5k}(1+2+2^2+2^3+2^4)=31·2^{5k}$, nên toàn bộ tổng chia hết cho 31.
Lời giải
Bài toán: $A=1+2+2^{2}+\ldots+2^{2023}+2^{2024}$. Chứng minh A chia hết cho 31.
Giải:
Ta có
$A=1+2+2^{2}+…+2^{2023}+2^{2024}$
$A=(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4})+\ldots+(2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}+2^{2023}+2^{2024})$
$A=31+2^{5}(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4})+…+2^{2020}(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4})$
$A=31(1+2^{5}+…+2^{2020})$ chia hết cho 31
→ đpcm
