Ta hoàn thành bình phương để biến biểu thức thành một số chính phương cộng hằng số. Sau đó giả sử nó là số chính phương và xét hiệu hai bình phương.
Chứng minh bằng tính chẵn lẻ của hai thừa số
$n^2+12n+2022=(n+6)^2+1986$. Giả sử tồn tại $m\in\mathbb Z$ sao cho $m^2=(n+6)^2+1986$. Khi đó $[m-(n+6)][m+(n+6)]=1986$.
Hai thừa số $m-(n+6)$ và $m+(n+6)$ luôn cùng tính chẵn lẻ. Nếu cùng lẻ thì tích lẻ; nếu cùng chẵn thì tích chia hết cho 4. Nhưng $1986\equiv2\pmod4$, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại $n$ nguyên thỏa mãn.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Chứng minh không tồn tại n nguyên để n^2 + 12n + 2022 là số chính phương.
Giải:
Lưu ý và cách kiểm tra
Lập luận này không cần thử từng giá trị của $n$. Hình bên dưới minh họa đầy đủ các bước chứng minh.
