Điều kiện $abc=5(a+b+c)$ cho thấy tích $abc$ chia hết cho 5. Vì $a,b,c$ đều là số nguyên tố, ít nhất một trong ba số phải bằng 5.
Đưa phương trình về tích hai nhân tử nhỏ
Không mất tính tổng quát, đặt $a=5$. Khi đó $5bc=5(5+b+c)$, suy ra $bc=b+c+5$, hay $(b-1)(c-1)=6$.
Các cặp ước dương của 6 cho $b,c$ nguyên tố chỉ có $(b-1,c-1)=(1,6)$ hoặc $(6,1)$, nên $\{b,c\}=\{2,7\}$. Vậy ba số nguyên tố là 2, 5, 7.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Tìm 3 số nguyên tố có tích bằng 5 lần tổng của 3 số đó.
Giải:
Cách của Bình: để tránh xét nhiều trường hợp, có thể sử dụng thêm tính chất sắp xếp biến do tính chất đối xứng của hai biến b và c!
Không mất tính tổng quát, giả sử b>c ≥2 thì lúc này chỉ cần xét 2 trường hợp trong đó một trường hợp thỏa mãn, một trường hợp loại thay vì xét 4 trường hợp!
Lưu ý khi làm bài
Kiểm tra: $2\times5\times7=70$ và $5(2+5+7)=5\times14=70$. Do phương trình đối xứng, thứ tự ba số không quan trọng.
