Bài toán có cấu trúc đẹp vì hai cặp $n(n+3)$ và $(n+1)(n+2)$ chỉ hơn kém nhau 2. Nhờ nhóm thích hợp, biểu thức được đưa đúng về hằng đẳng thức bình phương.
Biến đổi về bình phương hoàn chỉnh
Ta có $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)]\,[(n+1)(n+2)]+1$. Đặt $u=n^2+3n$ thì $(n+1)(n+2)=n^2+3n+2=u+2$.
Do đó biểu thức bằng $u(u+2)+1=u^2+2u+1=(u+1)^2=(n^2+3n+1)^2$, chắc chắn là số chính phương.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n , n + 1 , n + 2 , n + 3 . Khi đó ta có:
Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)+ 1
A= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n là số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 là một số chính phương.
Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là một số chính phương.
Lưu ý khi làm bài
Kết luận cần nêu đầy đủ: $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ là một số chính phương.
