Điều kiện $a<b<c$ cho phép đánh giá các thừa số $1+1/a$, $1+1/b$, $1+1/c$. Đây là cách nhanh để ép các số nhỏ nhất phải nhận các giá trị cụ thể.
Dùng đánh giá để buộc a=1 và b=2
Chia hai vế cho $abc>0$ được $(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=4$. Nếu $a\ge2$ thì cả ba số đều ít nhất 2, nên vế trái không vượt $(3/2)^3=27/8<4$, mâu thuẫn. Vậy $a=1$.
Khi đó $(1+1/b)(1+1/c)=2$. Nếu $b\ge3$ thì vế trái không vượt $(4/3)^2=16/9<2$, mâu thuẫn. Vậy $b=2$, rồi $(3/2)(1+1/c)=2$ suy ra $c=3$.
Nội dung bài toán và lời giải
Nội dung bài toán như sau: Tìm 3 số tự nhiên a,b,c biết a<b<c và (a+1)(b+1)(c+1)=4abc. Đây là dạng bài toán tìm 3 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán thuộc chương trình lớp 6.
Lời giải:
Dễ thấy a, b, c > 0.
Ta có: (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c) = 4.
Nếu ko có số nào bằng 1 thì vế trái <= (1+1/2)(1+1/2)(1+1/2) = 27/8 < 4. Do đó phải có 1 số bằng 1 hay a = 1. Từ đó (1+1/b)(1+1/c)=2.
Nếu ko có số nào bằng 2 thì vế trái <= (1+1/3)(1+1/3) = 16/9 < 2.
Do đó b = 2 và c = 3.
Đáp án: a = 1, b = 2, c = 3
Lưu ý khi làm bài
Ở bước thứ hai, vế phải bằng 2 nên cần so sánh $16/9<2$. Từ đó tiếp tục loại các trường hợp không thỏa điều kiện.
