Mấu chốt là phân tích biểu thức thành tích của hai số nguyên dương. Khi tích là số nguyên tố, một trong hai thừa số phải bằng 1.
Phân tích biểu thức thành nhân tử
$A=(x^2+2)(x^2-6x+10)=(x^2+2)((x-3)^2+1)$. Với $x\in\mathbb Z$, ta có $x^2+2\ge2$, vì vậy thừa số thứ nhất không thể bằng 1. Muốn tích là số nguyên tố, phải có $(x-3)^2+1=1$, suy ra $x=3$.
Khi $x=3$, $A=3^2+2=11$, là số nguyên tố.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài tập: Tìm x thuộc số nguyên sao cho $A$ là số nguyên tố
$A=x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-12 x+20$
Giải:
$A=x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-12x+20$
$A=x^{2}\left(x^{2}+2\right)-6 x\left(x^{2}+2\right)+10\left(x^{2}+2\right)$
$A=\left(x^{2}+2\right)\left(x^{2}-6 x+10\right)$
$A$ là số nguyên tố ⇒ $A = 1.P$
mà $x^{2}+2 \neq 1 \Rightarrow x^{2}-6 x+10=1$
⇒ $ \displaystyle x=3$ ⇒ $ \displaystyle A={{x}^{2}}+2=11$
⇒ $ \displaystyle A=11$ khi $x=3$
Lưu ý và cách kiểm tra
Khi biến đổi biểu thức, cần kiểm tra từng dấu bằng để bảo đảm các bước liên tiếp tương đương với nhau.
