Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Học sinh của 1 trường khi xếp hàng 10 thì thừa 5 người, khi xếp hàng 8 thì thiếu 3 người, khi xếp hàng 9 dư 6 người. Tìm số học sinh.
Xem đáp án
Gợi ý giải:
Gọi $X$ là số học sinh. Theo đề bài:
– Xếp hàng 10 thừa 5 người: $X\equiv5\pmod{10}$.
– Xếp hàng 8 thiếu 3 người: $X+3$ chia hết cho 8, nên $X\equiv5\pmod{8}$.
– Xếp hàng 9 dư 6 người: $X\equiv6\pmod{9}$.
Hai điều kiện đầu cho $X\equiv5\pmod{40}$, nên đặt $X=40n+5$. Thay vào điều kiện theo modulo 9:
$40n+5\equiv6\pmod9$
$4n\equiv1\pmod9$
$\Rightarrow n\equiv7\pmod9$.
Do đó $n=9k+7$ và:
$X=40(9k+7)+5=285+360k$ với $k=0,1,2,\ldots$
Vì vậy, theo đúng nguyên văn đề bài có nhiều nghiệm. Số học sinh dương nhỏ nhất là 285 học sinh. Nếu đề muốn có đáp án duy nhất là 285 thì cần bổ sung điều kiện “tìm số học sinh ít nhất” hoặc một giới hạn phù hợp (chẳng hạn $X<360$).
