Bài toán: Cho ΔABC nội tiếp (O) có đường kính BC sao cho AB<AC. Gọi K là trung điểm của AC, tiếp tuyến tại C của (O) và tia OK cắt nhau ở D.

a) Chứng minh OK ⊥ AC,

b) BD cắt (O) tại E. Chứng minh DE.DB=DK.DO

c) Gọi S là giao điểm của tia KE và tia BA. Chứng minh OA//CS.

Giải:

Giải câu cuối hình học lớp 9 thi học kì 1 nâng cao

Ta có DE.DB=DK.DO(cmt)
⇒ DE/DO=DK/DB
có góc BDO chung
⇒ tam giác DEK~DOB( c g c)
⇒ góc DKE=DBO(1)
áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OCD vuông tại C có đường cao CK ta có:
OK.OD=OC^2=OB^2(Vì OB=OC=R)
⇒ OK/OB=OB/OD
có góc DOB chung
⇒ tam giác OKB~OBD( c g c)
⇒ góc OKB=DBO(2)
từ(1) và(2) suy ra góc DKE=OKB
mà góc DKE+AKS=OKB+AKB=90 độ
⇒ góc AKS=AKB
⇒ KA là tia phân giác của góc BKS
Chỉ ra KA vuông góc vs BS
⇒ tam giác KBS cân tại K
⇒ AB=AS
có OB=OC
⇒ OA là đường trung bình của tam giác BSC.
⇒ OA//CS( đpcm)

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O;R) có AB là đường kính. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O;R). Trên nửa đường tròn (O;R) lấy điểm M (MA<MB). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O;R) cắt Ax tại C và By tại D.

a) Chứng minh: CD= AC+BD

b) Chứng minh: góc COD= 90 độ và AC.BD= R^2

c) Đường thẳng BM cắt Ax tại N, AM cắt ON tại E và cắt OC tại H. Đường thẳng NH cắt AB tại F. K là giao điểm của OC và EF. Chứng minh: AN^2= NM. NB và KE= KF

Hướng dẫn giải

Bài toán hình học nâng cao ôn thi học sinh giỏi Toán 9 Bài toán hình học nâng cao ôn thi học sinh giỏi Toán 9

Bài toán: Cho ΔABC nhọn (AB<AC). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại F, E. BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D. Vẽ HI ⊥ OA tại I.

a) Chứng minh: A, E, H, F cùng thuộc đường tròn, xác định tâm S.

b) Chứng minh AE.AC = AH.AD = Ai.AO

c) HI cắt (O) tại M. Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải:

Giải bài toán chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Ta có AI.AO=AE.AC( cmt)
⇒ AI/AC=AE/AO
có góc OAC chung
⇒ tam giác AIE~ACO( c g c)
⇒ góc AIE=ACO
xét( O) có OE=OC=R
⇒ tam giác OCE cân tại O
⇒ góc OCE=OEC
hay góc OCE=ACO
⇒ góc AIE=OCE(=ACO)
mà góc OIE+AIE=OEA+OCE=180 độ( kề bù)
⇒ góc OIE=OEA
chỉ ra tam giác OIE~OEA( g g)
⇒ OI/OE=OE/OA
⇒ OI.OA=OE^2=OM^2
⇒ OI/OM=OM/OA
góc AOM chung
⇒ tam giác OIM~OMA( c g c)
⇒ góc OMA=OIM=90 độ
⇒ AM vuông góc vs OM
⇒ AM là tiếp tuyến của(O) (đpcm)

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y= x^2$

Giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$a= 1>0 $, hàm số đồng biến khi $x>0$, hàm số nghịch biến khi $x<0$

Bảng giá trị:

$x$ -2 -1 0 1 2
$y= x^2$ 4 1 0 1 4

Đồ thị hàm số $y= x^2$ là đường cong Parabol đi qua gốc tọa độ $O$ và nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

 Bài toán vẽ đồ thị hàm số y = x^2

Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1

Giải:

y = 2x + 1.

x = 0 ⇒ y = 1

x = -1 ⇒ y = -1

Đồ thị hàm số $y= 2x + 1$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;1)$ và điểm $(-1; -1)$.

Bài toán vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1