Để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại $M$, cách trực tiếp nhất là chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính $OM$. Trong bài này, chuỗi hệ thức tích và các tam giác đồng dạng được dùng để đi đến kết luận $AM\perp OM$.
Ý tưởng chứng minh AM là tiếp tuyến
Từ các kết quả ở phần trước, ta có hệ thức liên quan $AI\cdot AO$ và $AE\cdot AC$. Khi thiết lập được các cặp tam giác đồng dạng, lời giải suy ra $OI\cdot OA=OM^2$. Hệ thức này tiếp tục cho phép so sánh tam giác $OIM$ với tam giác $OMA$ và suy ra $\angle OMA=90^\circ$.
Vì $M$ thuộc đường tròn $(O)$ nên $OM$ là bán kính. Khi $AM\perp OM$ tại $M$, theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$.
Bài toán: Cho ΔABC nhọn (AB<AC). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại F, E. BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D. Vẽ HI ⊥ OA tại I.
a) Chứng minh: A, E, H, F cùng thuộc đường tròn, xác định tâm S.
b) Chứng minh AE.AC = AH.AD = AI.AO
c) HI cắt (O) tại M. Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O).
Hướng dẫn giải:
Ta có AI.AO=AE.AC( cmt)
⇒ AI/AC=AE/AO
có góc OAC chung
⇒ tam giác AIE~ACO( c g c)
⇒ góc AIE=ACO
xét( O) có OE=OC=R
⇒ tam giác OCE cân tại O
⇒ góc OCE=OEC
hay góc OCE=ACO
⇒ góc AIE=OCE(=ACO)
mà góc OIE+AIE=OEA+OCE=180 độ( kề bù)
⇒ góc OIE=OEA
chỉ ra tam giác OIE~OEA( g g)
⇒ OI/OE=OE/OA
⇒ OI.OA=OE^2=OM^2
⇒ OI/OM=OM/OA
góc AOM chung
⇒ tam giác OIM~OMA( c g c)
⇒ góc OMA=OIM=90 độ
⇒ AM vuông góc vs OM
⇒ AM là tiếp tuyến của(O) (đpcm)
Ghi nhớ khi làm bài
Khi trình bày bài chứng minh tiếp tuyến, nên nêu rõ tiêu chí cần đạt ngay từ đầu: “cần chứng minh $AM\perp OM$”. Điều này giúp các bước đồng dạng và hệ thức tích có mục tiêu rõ ràng hơn.
Bài tập liên quan
Bạn có thể xem thêm bài toán hình học nâng cao ôn HSG Toán 9, câu cuối hình học lớp 9 nâng cao và tuyển tập bài toán hình học lớp 9 để luyện các dạng bài liên quan.
