Bài toán khai thác điều kiện a, b là số nguyên tố và phép phân tích a² − 4 thành nhân tử để giới hạn các trường hợp có thể xảy ra.
Cách làm phù hợp
Biến đổi \(a^2-7b-4=0\) thành \((a-2)(a+2)=7b\), sau đó dùng tính nguyên tố của a và b để xét các thừa số.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán
Tính a + b, biết a, b là hai số nguyên tố và \(a^2 – 7b – 4 = 0\).
Lời giải
Ta có:
\(a^2 – 4 = 7b\)
hay
\((a-2)(a+2)=7b\).
Vì a là số nguyên tố nên a = 2 không thỏa mãn. Do đó a là số nguyên tố lẻ.
Tích ở vế phải chỉ có các thừa số nguyên tố 7 và b. Trong hai số a − 2 và a + 2, một số phải chia hết cho 7.
Nếu a + 2 chia hết cho 7 thì:
\(b=(a-2)\times\dfrac{a+2}{7}\).
Để b là số nguyên tố, một trong hai thừa số phải bằng 1. Trường hợp phù hợp là \(\dfrac{a+2}{7}=1\), suy ra a = 5 và b = 3.
Nếu a − 2 chia hết cho 7 thì:
\(b=\dfrac{a-2}{7}\times(a+2)\).
Muốn b là số nguyên tố thì một thừa số phải bằng 1; khi đó a = 9 hoặc xuất hiện trường hợp không thể xảy ra, nên không nhận.
Vậy a = 5, b = 3.
Đáp số: a + b = 8.
