Toán lớp 8

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 bằng hằng đẳng thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong chương trình Toán lớp 8 chúng ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 7.

459

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1) $ \displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$

2) $ \displaystyle (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$

3) $ \displaystyle A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$

4) $ \displaystyle (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$

5) $ \displaystyle (A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$

6) $ \displaystyle A^{3}+B^{3}=(A+B)\left( {A^{2}-AB+B^{2}} \right)$

7) $ \displaystyle A^{3}-B^{3}=(A-B)\left( {A^{2}+AB+B^{2}} \right)$

Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức – Toán lớp 8

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^{2}-4 x+7$

Giải

Ta có $: A=x^{2}-4 x+7=\left(x^{2}-2 \cdot 2 \cdot x+4\right)+3=(x-2)^{2}+3$

Ta luôn có : $(x-2)^{2} \geq 0$ với mọi $x$.

Suy ra: $(x-2)^{2}+3 \geq 3$ với mọi $x$.

hay $A \geq 3$ với mọi $x$.

Dấu “=” xảy ra khi : $x-2=0$ hay $x=2$

Nên : $A_{\min }=3$ khi $x=2$

Ví dụ 2: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi $x$.

$B=4 x^{2}+4 x+3$

Giải

Ta có: $B=(2 x)^{2}+2 \cdot 2 x \cdot 1+1^{2}+2=(2 x+1)^{2}+2$

Ta luôn có: $(2 x+1)^{2} \geq 0$ với mọi $x$.

Suy ra: $(2 x+1)^{2}+2 \geq 2>0$ với mọi $x$.

Hay: $B>0$ với mọi $x$.

Vậy: biểu thức $B$ luôn dương với mọi $x$

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$

Giải

Ta có : $C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$

$=\left(x^{2}+2 \cdot x \cdot 3+9\right)+\left(9 y^{2}-2 \cdot 3 y \cdot 1+1\right)-5=(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5$

Mà : $(x-2)^{2} \geq 0 ;(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$.

$(x-2)^{2}+(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$

Suy ra: $(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5 \geq-5$ với mọi $x, y$.

hay: $C \geq-5$ với mọi $x, y$

Dấu “=” xảy ra khi : $x+3=0$ và $3 y-1=0$

$x=-3 $ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$

Nên: $C_{\min }=-5$ khi $x=-3$ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$

3.75 ( 4 bình chọn )

Ý kiến bạn đọc (0)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Bài liên quan

Kết nối với chúng tôi

Nhiều người đọc

Chuyên mục

Bài viết mới
Xem thêm