Toán lớp 8

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8 bằng hằng đẳng thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong chương trình Toán lớp 8 chúng ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 7.

1460

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1) $ \displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$

2) $ \displaystyle (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$

3) $ \displaystyle A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$

4) $ \displaystyle (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$

5) $ \displaystyle (A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$

6) $ \displaystyle A^{3}+B^{3}=(A+B)\left( {A^{2}-AB+B^{2}} \right)$

7) $ \displaystyle A^{3}-B^{3}=(A-B)\left( {A^{2}+AB+B^{2}} \right)$

Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức – Toán lớp 8

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^{2}-4 x+7$

Giải

Ta có $: A=x^{2}-4 x+7=\left(x^{2}-2 \cdot 2 \cdot x+4\right)+3=(x-2)^{2}+3$

Ta luôn có : $(x-2)^{2} \geq 0$ với mọi $x$.

Suy ra: $(x-2)^{2}+3 \geq 3$ với mọi $x$.

hay $A \geq 3$ với mọi $x$.

Dấu “=” xảy ra khi : $x-2=0$ hay $x=2$

Nên : $A_{\min }=3$ khi $x=2$

Ví dụ 2: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi $x$.

$B=4 x^{2}+4 x+3$

Giải

Ta có: $B=(2 x)^{2}+2 \cdot 2 x \cdot 1+1^{2}+2=(2 x+1)^{2}+2$

Ta luôn có: $(2 x+1)^{2} \geq 0$ với mọi $x$.

Suy ra: $(2 x+1)^{2}+2 \geq 2>0$ với mọi $x$.

Hay: $B>0$ với mọi $x$.

Vậy: biểu thức $B$ luôn dương với mọi $x$

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$

Giải

Ta có : $C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$

$=\left(x^{2}+2 \cdot x \cdot 3+9\right)+\left(9 y^{2}-2 \cdot 3 y \cdot 1+1\right)-5=(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5$

Mà : $(x-2)^{2} \geq 0 ;(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$.

$(x-2)^{2}+(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$

Suy ra: $(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5 \geq-5$ với mọi $x, y$.

hay: $C \geq-5$ với mọi $x, y$

Dấu “=” xảy ra khi : $x+3=0$ và $3 y-1=0$

$x=-3 $ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$

Nên: $C_{\min }=-5$ khi $x=-3$ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$

4 ( 1 bình chọn )

Bài Toán
https://baitoan.com
Baitoan.com chia sẻ các bài toán dành cho lứa tuổi mầm non, Tiểu học (cấp 1), Trung học cơ sở (THCS), Trung học phổ thông (THPT) và những bài toán khác.
Ý kiến bạn đọc (0)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Bài cùng chuyên mục
Bài viết mới
Xem thêm