Khi biểu thức chứa các hạng tử bậc hai, một cách quen thuộc để tìm giá trị nhỏ nhất là biến đổi về tổng các bình phương cộng với một hằng số. Vì bình phương của mọi số thực luôn không âm, hằng số còn lại sẽ cho ta cận dưới của biểu thức.
Phương pháp hoàn thành bình phương
Mục tiêu là đưa biểu thức về dạng $(A)^2+c$ hoặc tổng nhiều bình phương cộng $c$. Khi đó biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng $c$. Để kết luận giá trị nhỏ nhất thực sự bằng $c$, phải chỉ ra được giá trị của biến làm tất cả các bình phương đồng thời bằng 0.
Các hằng đẳng thức $(A\pm B)^2=A^2\pm2AB+B^2$ được dùng nhiều nhất. Khi nhóm hạng tử, cần kiểm tra lại hệ số của số hạng giữa để tránh thêm hoặc bớt sai hằng số.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1) $ \displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$
2) $ \displaystyle (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$
3) $ \displaystyle A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$
4) $ \displaystyle (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$
5) $ \displaystyle (A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$
6) $ \displaystyle A^{3}+B^{3}=(A+B)\left( {A^{2}-AB+B^{2}} \right)$
7) $ \displaystyle A^{3}-B^{3}=(A-B)\left( {A^{2}+AB+B^{2}} \right)$
Bài tập tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức – Toán lớp 8
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^{2}-4 x+7$
Giải
Ta có $: A=x^{2}-4 x+7=\left(x^{2}-2 \cdot 2 \cdot x+4\right)+3=(x-2)^{2}+3$
Ta luôn có : $(x-2)^{2} \geq 0$ với mọi $x$.
Suy ra: $(x-2)^{2}+3 \geq 3$ với mọi $x$.
hay $A \geq 3$ với mọi $x$.
Dấu “=” xảy ra khi : $x-2=0$ hay $x=2$
Nên : $A_{\min }=3$ khi $x=2$
Ví dụ 2: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi $x$.
$B=4 x^{2}+4 x+3$
Giải
Ta có: $B=(2 x)^{2}+2 \cdot 2 x \cdot 1+1^{2}+2=(2 x+1)^{2}+2$
Ta luôn có: $(2 x+1)^{2} \geq 0$ với mọi $x$.
Suy ra: $(2 x+1)^{2}+2 \geq 2>0$ với mọi $x$.
Hay: $B>0$ với mọi $x$.
Vậy: biểu thức $B$ luôn dương với mọi $x$
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$
Giải
Ta có : $C=x^{2}+9 y^{2}+6 x-6 y+5$
$=\left(x^{2}+2 \cdot x \cdot 3+9\right)+\left(9 y^{2}-2 \cdot 3 y \cdot 1+1\right)-5=(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5$
Mà : $(x+3)^{2} \geq 0 ;(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$.
$(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2} \geq 0$ với mọi $x, y$
Suy ra: $(x+3)^{2}+(3 y-1)^{2}-5 \geq-5$ với mọi $x, y$.
hay: $C \geq-5$ với mọi $x, y$
Dấu “=” xảy ra khi : $x+3=0$ và $3 y-1=0$
$x=-3 $ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$
Nên: $C_{\min }=-5$ khi $x=-3$ và $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$
Ghi nhớ khi làm bài
Ở ví dụ có hai biến, sau khi đưa về $(x+3)^2+(3y-1)^2-5$, hai bình phương cùng bằng 0 khi $x=-3$, $y=1/3$. Do đó giá trị nhỏ nhất là $-5$.
Bài tập liên quan
Bạn có thể xem thêm bài tập tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất lớp 7, bài toán tìm GTLN của phân thức lớp 8 và phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 để luyện các dạng bài liên quan.
