Trung học cơ sở

Bài toán: Tìm GTLN của $A=\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$.Giải:Trường hợp x ≠ 0 chia cả tử và mẫu của phân thức cho $x^2$.

Bài toán: Cho $P=\frac{4\sqrt {x}+1}{x+3},x\ge 0$Tìm $x$ để $P\in \mathbb{Z}$.Giải$\begin{aligned} P & =\frac{4 \sqrt{x}+1}{x+3}>0 \\ P & =\frac{4 \sqrt{x}+1}{x+3}=\frac{(-2 x+4 \sqrt{x} *-2)+2 x+3}{x+3} \\ & =\frac{-2(\sqrt{x}-1)^2+2 x+3}{x+3}<\frac{2 x+6}{x+3}=2\end{aligned}$$\Rightarrow 0<p<2$ mà $ p\in \mathbb{Z}\Rightarrow p=1$$P=1\Rightarrow 4\sqrt {x}+1=x+3\Leftrightarrow x-4\sqrt {x}+4=2\Leftrightarrow {(\sqrt {x}-2)^2}=2\Leftrightarrow x={(2\pm \sqrt {2})^2}$

Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2+y^2=xy+x+yGiải:Cách 1: Cách thông thường, áp dụng cho nhiều bài tìm nghiệm nguyên của phương trình.Ta có thể viết lại phương trình theo dạng:x^2 – x(y+1) + y^2 – y = 0Đây là một phương trình bậc hai đối với x, với hệ số a = 1, […]

Đề bài và lời giải ở trong hình dưới đây: 

Bài toán: Giải phương trình vô tỷ $ \displaystyle y^{2}-2y-y\sqrt{{2y+3}}+6=0$Giải:Điều kiện: $ \displaystyle {y\ge \dfrac{{-3}}{2}}$$ \displaystyle y^{2}-2y-y\sqrt{{2y+3}}+6=0$$ \displaystyle \Leftrightarrow 2y^{2}-4y-2y\sqrt{{2y+3}}+12=0$$ \displaystyle \Leftrightarrow \left( {y^{2}-6y+9} \right)+\left( {y^{2}-2y\sqrt{{2y+3}}+2y+3} \right)=0$$ \displaystyle \Leftrightarrow (y-3)^{2}+(y-\sqrt{{2y+3}})^{2}=0$$ \displaystyle \Leftrightarrow y=3$ (thỏa mãn)Vậy $y=3$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài toán: Cho ΔABC nội tiếp (O) có đường kính BC sao cho AB<AC. Gọi K là trung điểm của AC, tiếp tuyến tại C của (O) và tia OK cắt nhau ở D.a) Chứng minh OK ⊥ AC,b) BD cắt (O) tại E. Chứng minh DE.DB=DK.DOc) Gọi S là giao điểm của tia KE […]

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến  AM, đường thẳng song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh AM đi qua trung điểm của EF.Giải bằng kiến thức học kì 1 (hết chương 2) lớp 8. Không dùng định lý Talet và tam giác […]

Bài toán: Cho nửa đường tròn (O;R) có AB là đường kính. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O;R). Trên nửa đường tròn (O;R) lấy điểm M (MA<MB). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O;R) cắt Ax tại C và By tại D.a) Chứng minh: CD= AC+BDb) Chứng minh: […]

Bài toán: Cho ΔABC nhọn (AB<AC). Vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại F, E. BE cắt CF tại H, AH cắt BC tại D. Vẽ HI ⊥ OA tại I.a) Chứng minh: A, E, H, F cùng thuộc đường tròn, xác định tâm S.b) Chứng […]

Bài toán: Tính a + b biết a, b là 2 số nguyên tố thỏa mãn a^2 – 7b – 4 = 0.Giải:

Bài toán: Chứng minh không tồn tại n nguyên để n^2 + 12n + 2022 là số chính phương.Giải:

Bài toán: Tìm 3 số nguyên tố có tích bằng 5 lần tổng của 3 số đó.Giải:Cách của Bình: để tránh xét nhiều trường hợp, có thể sử dụng thêm tính chất sắp xếp biến do tính chất đối xứng của hai biến B và c! Ko mất tính tổng quát, giả sử b>c ≥2 […]

5 cách giải cho một bài toán hình học khó phần đường tròn thi hết học kì 1 Toán lớp 9 được chia sẻ bởi cô Thanh Loan.

Bài toán: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh cot A + cot B + cot C ≥ √3.Giải:

Bài toán: Cho $x, y \in \mathbb{Q}$ thỏa mãn $21 x^2-36 x y+44 y^2 \leq 27$. Tìm max min của $A=x+2 y$.Giải:Vì $A = x + 2y$ nên $2y = A – x$. Ta viết lại biểu thức ban đầu:$\begin{array}{c} 21{x^2} – 18x\left( {A – x} \right) + 11{\left( {A – x} \right)^2} \le 27\\ […]

Hướng dẫn giải: 

Bài 1: Cho hai đa thức:$ f( x )=2x^2-3x+x^3-4+6x-x^3-1;$$ g( x )=3-2x^3+1-x+2x^3+x^2+3x $a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến;b) Tìm đa thức h(x) sao cho h(x) = f(x) – g(x).c) Tính h(2); h(-2).Bài 2: Cho hai đa thức:$Q( x )=x-5x^3-x^2-x^4+4x^3-x^2+3x-1 $a) Thu gọn và sắp […]

Bài 1: Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi $ x=3$ thì $ y=-6$.a) Viết công thức liên hệ giữa x và y;b) Tính giá trị của y khi $ x=-1;x=2;x=-3;x=6;x=-\dfrac {3}{4};$c) Tính giá trị của x khi $ y=1;y=-2;y=-6;y=\dfrac {2}{3};y=-\dfrac {5}{6} $Bài 2: Cho tam […]

Bài 1: Số viên bi của ba bạn An, Bình, Cường tỉ lệ với các số 2; 4; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả 44 viên bi.Bài 2: Hai lớp 7A, 7B trồng được tất cả 102 cây. Số cây lớp 7B trồng được bằng $\dfrac […]

DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

Bài 1: Thu gọn và chỉ ra phần hệ số và phần biến của các đơn thức sau:a) $ 2xy^{2}.\left( {-\dfrac{5}{2}x^{2}y} \right)$;b) $ \dfrac{2}{3}ax^{2}y^{3}xy^{2}$ ( a là hằng số );c) $ -\dfrac{2}{{15}}abx^{2}.5ax$ (a, b là hằng số );d) $ \left( {3+2,7} \right)x^{2}y^{3}z.$Bài 2: Rút gọn:a) $ x^{4}y-5xy^{3}+2xy^{3}-5x^{4}y;$ b) $ 5xy^{4}-5xy+7xy-2xy^{4};$c) $ -3x^{5}y^{4}+3x^{2}y^{3}-7x^{2}y^{3}+5x^{5}y^{4};$d) $ \left( {\dfrac{2}{5}x^{3}y^{2}} […]

Phương pháp hệ số bất định tên tiếng Anh là Undefined Coeffient Technique (viết tắt là UCT) được dùng để chứng minh bất đẳng thức.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong chương trình Toán lớp 8 chúng ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 7.

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -3x + 1Giải:Khảo sát hàm số y = -3x + 1Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -3<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = -3x + 1y = -3x + 1.x = 0 ⇒ y = 1x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 1Giải:Khảo sát hàm số y = 3x + 1Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 3>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 1y = 3x + 1.x = 0 ⇒ y = 1x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x + 5Giải:Khảo sát hàm số y = -x + 5Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 5y = -x + 5.x = 0 ⇒ y = 5x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 5Giải:Khảo sát hàm số y = x + 5Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = x + 5y = x + 5.x = 0 ⇒ y = 5x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x + 4Giải:Khảo sát hàm số y = -x + 4Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 4y = -x + 4.x = 0 ⇒ y = 4x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 4Giải:Khảo sát hàm số y = x + 4Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = x + 4y = x + 4.x = 0 ⇒ y = 4x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x + 2Giải:Khảo sát hàm số y = -x + 2Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -1>0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 2y = -x + 2.x = 0 ⇒ y = 2x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 2Giải:Khảo sát hàm số y = x + 2Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2y = x + 2.x = 0 ⇒ y = 2x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x + 1Giải:Khảo sát hàm số y = -x + 1Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -1<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 1y = -x + 1.x = 0 ⇒ y = 1x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 1Giải:Khảo sát hàm số y = x + 1Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = x + 1y = x + 1.x = 0 ⇒ y = 1x = […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x + 3Giải:Khảo sát hàm số y = x + 3Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3y = x + 3.x = 0 ⇒ y = 3x = […]

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{16}x^{2}$ (y=x^2/16)Giải:Khảo sát:Tập xác định: $ D=\mathbb{R}$$ a=\dfrac{1}{16}>0$, hàm số đồng biến nếu $ x>0$, hàm số nghịch biến nếu $ x<0$Vẽ đồ thị hàm số:Bảng giá trị hàm số y=1/16x^2  $ x$ ${-8}$ ${-4}$ ${0}$ ${4}$ ${8}$ $ y=\dfrac {1}{16}x^2$ ${4}$ ${1}$ ${0}$ ${1}$ […]

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^{2}$ (y=x^2/3)Giải:Khảo sát:Tập xác định: $ D=\mathbb{R}$$ a=\dfrac{1}{3}>0$, hàm số đồng biến nếu $ x>0$, hàm số nghịch biến nếu $ x<0$Vẽ đồ thị hàm số:Bảng giá trị hàm số y=1/3x^2  $ x$ ${-6}$ ${-3}$ ${0}$ ${3}$ ${6}$ $ y=\dfrac {1}{3}x^2$ ${12}$ ${3}$ ${0}$ ${3}$ […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $ y=\dfrac {1}{4}x^2$ (y = -x^2)Giải:Khảo sát:Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= \dfrac {1}{4}>0$, hàm số đồng biến nếu $ x>0$, hàm số nghịch biến nếu $ x<0$Vẽ đồ thị hàm số:Bảng giá trị  $ x$ ${-4}$ ${-2}$ ${0}$ ${2}$ ${4}$ $ y=\dfrac {1}{4}x^2$ ${4}$ ${1}$ […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -x^2Giải:Khảo sát:Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -1<0$, hàm số đồng biến nếu $ x<0$, hàm số nghịch biến nếu $ x>0$Vẽ đồ thị hàm số:Bảng giá trị  $ x$ ${-2}$ ${-1}$ ${0}$ ${1}$ ${2}$ $ y=-x^2$ ${-4}$ ${-1}$ ${0}$ ${-1}$ ${-4}$ Đồ thị […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x +3Giải:Khảo sát:Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 2>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số:y = 2x +3x = 0 ⇒ y = 3x = -1 ⇒ y = 1Đồ thị hàm số $y= 2x +3$ là đường thẳng […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 4Giải:Khảo sát:Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 2>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số:y = 2x – 4x = 0 ⇒ y = -4x = 1 ⇒ y = -2Đồ thị hàm số $y= 2x – 4$ […]

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -2x + 5Giải:Khảo sát:Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= -2<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số:y = -2x + 5x = 0 ⇒ y = 5x = 1 ⇒ y = 3Đồ thị hàm số $y= -2x + 5$ […]

Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số y = 2xGiải:y = 2x.x = 0 ⇒ y = 0x = 1 ⇒ y = 2Đồ thị hàm số $y= 2x$ là đường thẳng đi gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $(1;2)$

Bài toán: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 3Giải:Tập xác định: $D=\mathbb{R}$$ a= 3>0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + 3:y = 3x + 3x = 0 ⇒ y = 3x = -1 ⇒ y = 0Đồ thị hàm số […]

Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số y = -3xGiải:y = -3x.x = 0 ⇒ y = 0x = 1 ⇒ y = -3Đồ thị hàm số $y= -3x$ là đường thẳng đi gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $(1;-3)$

Bài toán:Hướng dẫn giải:Phương trình đầu dùng hằng đẳng thức số 2 để suy ra x^2+y^2>=2xy nên 2x^2+6xy+17y^2>=x^2+8xy+16y^2=(x+4y)^2 rồi đưa ra ngoài dấu căn, căn thứ hai làm tương tự sẽ được vế trái>=vế phải nên để hệ phương trình có nghiệm thì x=y. Thay vào phương trình 2 và giải là xong.

Bài toán: $A=1+2+2^{2}+\ldots+2^{2023}+2^{2024}$. Chứng minh A chia hết cho 31.Giải:Ta có$A=1+2+2^{2}+…+2^{2023}+2^{2024}$$A=(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4})+\ldots+(2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}+2^{2023}+2^{2024})$$A=31+2^{5}(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4})+…+2^{2020}(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4})$$A=31(1+2^{5}+…+2^{2020})$ chia hết cho 31→ đpcm

Chúng ta có thể dùng phương pháp nhân liên hợp để giải một số phương trình chứa căn thức nâng cao với mục đích xuất hiện nhân tử chung.

Bài toán: Giải phương trình$x^{2}+\dfrac{9 x^{2}}{(x-3)^{2}}=16$Giải:Bằng cách thêm bớt rồi đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t. Sau đó giải t rồi tìm được $x$

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán có lời văn áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ở lớp 7 vào để giải.