Bài hình học lớp 9 này kết hợp tính chất đường kính, tiếp tuyến, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng. Lời giải dưới đây được sắp lại để tránh suy luận vòng ở ý b.
Đề bài
Bài toán: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC, AB < AC. Gọi K là trung điểm AC. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OK tại D. Đường thẳng BD cắt (O) lần nữa tại E; tia KE cắt BA tại S.
Ý a: chứng minh OK vuông góc AC
Vì O là tâm và K là trung điểm của dây AC nên OK vuông góc AC.
Ý b và c: mạch chứng minh
a) Vì K là trung điểm của dây AC nên đường nối tâm O với K vuông góc AC. Do đó OK ⟂ AC.
b) Từ D kẻ tiếp tuyến DC đến (O), theo hệ thức về lực của điểm D đối với đường tròn: DB · DE = DC². Mặt khác, tam giác OCD vuông tại C và CK là đường cao xuống cạnh OD nên DK · DO = DC². Suy ra DB · DE = DK · DO.
c) Từ DE · DB = DK · DO suy ra DE/DO = DK/DB. Kết hợp góc tại D chung theo hai đường thẳng DB và DO, suy ra hai tam giác DKE và DBO đồng dạng, nên ∠DKE = ∠DBO. Trong tam giác vuông OCD, OK · OD = OC² = OB², do đó OK/OB = OB/OD; suy ra tam giác KOB đồng dạng với BOD và ∠OKB = ∠DBO. Vậy ∠DKE = ∠OKB.
Vì KA ⟂ KO và KS cùng tia KE, ta được ∠AKS = ∠AKB; KA là tia phân giác của ∠BKS. Lại có AB ⟂ AC vì BC là đường kính, nên KA ⟂ BS. Trong tam giác KBS, đường phân giác KA đồng thời vuông góc BS, suy ra A là trung điểm BS. O là trung điểm BC, nên OA là đường trung bình của tam giác BSC. Do đó OA ∥ CS.
