Bài toán: Có bao nhiêu hình tam giác trong bức tranh dưới đây?

Đề bài: Tam giác ABC có chân đường cao hạ từ A nằm giữa B và C. Biết tổng bình phương chu vi hai tam giác con bằng bình phương chu vi của tam giác ABC. Hỏi góc A bằng bao nhiêu?

Bài toán yêu cầu tính góc của một hình tam giác nhỏ trong tam giác lớn. Vì có khá nhiều dữ kiện, nó khiến người giải cho rằng đây là câu đố khó.

Câu đố như sau:

Cho hình tam giác lớn chứa các tam giác nhỏ với số đo các góc như hình dưới. Hãy tính x, tức số đo góc BEF.

Các em thử đếm xem trong hình dưới đây có bao nhiêu hình tam giác. Đếm cho đủ đấy không lại thiếu nhé.

Nhìn có vẻ đơn giản nhưng nhiều người lớn cũng không đếm đủ được đâu.

Cho tam giác vuông có ba cạnh a, b, c là số nguyên.

Tìm tất cả trường hợp của tam giác vuông này thỏa mãn điều kiện diện tích bằng hai lần chu vi tam giác?

Vì bài này khó quá nên Baitoan.com sẽ đưa ra lời giải ngay dưới đây:

Đáp án:

Đặt a, b là hai cạnh góc vuông và c là cạnh huyền của tam giác đã cho. Vì diện tích tam giác bằng hai lần chu vi, ta có:

ab/2 = 2(a + b + c)

ab/4 = a + b + c

 (ab/4 – a – b)² = c²

Theo Pytago ta có a² + b² = c².

Suy ra (ab/4 – a – b)² = a² + b²

 a²b²/16 + a² + b² + 2ab – a²b/2 – ab²/2 = a² + b²

a²b²/16 – a²b/2 – ab²/2 + 2ab = 0

ab(ab/16 – a/2 – b/2 + 2) = 0

Vì ab ≠ 0 nên ta có ab – 8a – 8b + 32 = 0.

Hay ab – 8a – 8b + 64 – 32 = 0

a (b – 8) – 8(b – 8) = 32

(a – 8)(b – 8) = 32 = 1 x 32 = 8 x 4 = 2 x 16.

Các cặp (a – 8; b – 8) tương ứng là (1; 32), (8; 4), (2; 16).

Suy ra các cặp (a; b) tương ứng là (9; 40), (16; 12) và (10; 24). Từ đó suy ra c tương ứng trong các trường hợp lần lượt là 41; 20 và 26.

Vậy, các trường hợp của tam giác vuông có cạnh (a; b; c) thỏa mãn đề bài là
(9; 40; 41); (16; 12; 20) và (10; 24; 26).

Khó quá phải không nào các bạn :))

Thử tài các em học sinh tiểu học bằng bài toán đếm hình. Câu hỏi đưa ra là: Có bao nhiêu hình tam giác trong hình sau?.

Hình vẽ: