Bài toán dùng công thức lượng giác và công thức cộng, phù hợp hơn với mạch lượng giác THPT. Ta trình bày lời giải đầy đủ thay vì sử dụng ngay công thức nửa góc mà không giải thích.
Đề bài
Tam giác ABC có chân đường cao từ A nằm giữa B và C. Biết tổng bình phương chu vi của hai tam giác vuông tạo bởi đường cao bằng bình phương chu vi tam giác ABC. Tính góc A.
Biểu diễn các chu vi theo đường cao
Gọi D là chân đường cao từ A xuống BC và đặt AD = h.
Trong tam giác vuông ABD:
\[
AB=\frac{h}{\sin B},\qquad BD=\frac{h\cos B}{\sin B}.
\]
Do đó:
\[
AB+BD=h\frac{1+\cos B}{\sin B}=h\cot\frac{B}{2}.
\]
Tương tự:
\[
AC+CD=h\cot\frac{C}{2}.
\]
Đặt \(u=\cot\dfrac{B}{2}\), \(v=\cot\dfrac{C}{2}\). Khi đó chu vi hai tam giác vuông ABD, ACD lần lượt là \(h(u+1)\), \(h(v+1)\); còn chu vi tam giác ABC là \(h(u+v)\).
Dùng điều kiện của đề bài
Theo giả thiết:
\[
[h(u+1)]^2+[h(v+1)]^2=[h(u+v)]^2.
\]
Vì h > 0, chia hai vế cho h² rồi rút gọn:
\[
(u+1)^2+(v+1)^2=(u+v)^2
\]
\[
\Longleftrightarrow 1+u+v=uv.
\]
Suy ra:
\[
\frac{u+v}{uv-1}=1.
\]
Suy ra góc A
Vì \(\tan\dfrac B2=\dfrac1u\) và \(\tan\dfrac C2=\dfrac1v\), công thức cộng cho:
\[
\tan\frac{B+C}{2}
=\frac{\tan(B/2)+\tan(C/2)}{1-\tan(B/2)\tan(C/2)}
=\frac{u+v}{uv-1}=1.
\]
Ta có \(0^\circ<\dfrac{B+C}{2}<90^\circ\), nên:
\[
\frac{B+C}{2}=45^\circ \Rightarrow B+C=90^\circ.
\]
Vì \(A+B+C=180^\circ\), suy ra:
\[
A=90^\circ.
\]
Đáp số: góc A bằng 90°.