Giải phương trình dạng a^2 + b^2 = C.
Kiến thức và cách làm phù hợp
Bài lớp 9 có thể dùng điều kiện xác định, phương trình bậc hai, căn thức và phép đặt biểu thức phụ khi giúp biến đổi gọn hơn. Mỗi nghiệm cuối cùng cần được đối chiếu điều kiện.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Giải phương trình $x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$
Lời giải:
Điều kiện xác định (ĐKXĐ):
$x + 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$
Giải phương trình:
Phương trình đã cho:
$x^2 + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 = 3$
$\Leftrightarrow x^2 – 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} + \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{x}{x+1} = 3$
$\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{x}{x+1}\right)^2 + \dfrac{2x^2}{x+1} = 3$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x(x+1) – x}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right) – 3 = 0 \quad (*)$
Đặt $t = \dfrac{x^2}{x+1}$. Phương trình $(*)$ trở thành:
$t^2 + 2t – 3 = 0$
Ta thấy $a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0$, do đó phương trình có 2 nghiệm:
$\left[ \begin{array}{l} t = 1 \\ t = -3 \end{array} \right.$
Xét các trường hợp:
- Trường hợp 1: $t = 1$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = 1$
$\Rightarrow x^2 = x + 1$
$\Rightarrow x^2 – x – 1 = 0$
Ta có $\Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0$.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_1 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$
$x_2 = \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} \quad \text{(thỏa mãn ĐKXĐ)}$
- Trường hợp 2: $t = -3$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x+1} = -3$
$\Rightarrow x^2 = -3(x + 1)$
$\Rightarrow x^2 + 3x + 3 = 0$
Ta có $\Delta = 3^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 – 12 = -3 < 0$.
Phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ \dfrac{1 – \sqrt{5}}{2} ; \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right\}$.
Kiểm tra kết quả
Sau khi đặt t = x²/(x+1), phương trình trở thành t² + 2t – 3 = 0. Nhánh t = 1 cho hai nghiệm (1 ± √5)/2; nhánh t = -3 dẫn đến phương trình có biệt thức âm nên không có nghiệm thực.
