Bài toán: Giải phương trình $(\sqrt{4x+1} + 2\sqrt{1-x})(5 + 4\sqrt{1+3x-4x^2}) = 27 \quad$
Lời giải:
Điều kiện xác định:
$\begin{cases} 4x + 1 \ge 0 \\ 1 – x \ge 0 \\ 1 + 3x – 4x^2 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{4} \\ x \le 1 \\ (1-x)(4x+1) \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \le x \le 1$
Phương trình đã cho:
$(\sqrt{4x+1} + 2\sqrt{1-x})(5 + 4\sqrt{1+3x-4x^2}) = 27 \quad (*)$
Đặt $t = \sqrt{4x+1} + 2\sqrt{1-x}$ ($t \ge 0$).
Bình phương hai vế, ta có:
$t^2 = (\sqrt{4x+1} + 2\sqrt{1-x})^2$
$\Leftrightarrow t^2 = (4x + 1) + 4(1 – x) + 4\sqrt{(4x+1)(1-x)}$
$\Leftrightarrow t^2 = 5 + 4\sqrt{1 + 3x – 4x^2}$
Thay vào phương trình $(*)$, ta được:
$t \cdot t^2 = 27$
$\Leftrightarrow t^3 = 27$
$\Leftrightarrow t = 3 \quad \text{(thỏa mãn } t \ge 0 \text{)}$
Với $t = 3$, suy ra $t^2 = 9$. Thay vào biểu thức của $t^2$, ta có:
$5 + 4\sqrt{1 + 3x – 4x^2} = 9$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{1 + 3x – 4x^2} = 4$
$\Leftrightarrow \sqrt{1 + 3x – 4x^2} = 1$
$\Leftrightarrow 1 + 3x – 4x^2 = 1$
$\Leftrightarrow -4x^2 + 3x = 0$
$\Leftrightarrow x(-4x + 3) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ -4x + 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \dfrac{3}{4} \end{array} \right.$
Đối chiếu với điều kiện xác định $-\dfrac{1}{4} \le x \le 1$, cả hai giá trị $x = 0$ và $x = \dfrac{3}{4}$ đều thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 0; \dfrac{3}{4} \right\}$.
