Bài toán: Cho $a,b,c$ là ba số thực khác $0$, thỏa mãn: $\dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b}$ và $a+b+c \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức: $B = \left(1 + \dfrac{b}{a}\right)\left(1 + \dfrac{a}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{b}\right)$
Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (với $a+b+c \neq 0$), ta có:
$\dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b} = \dfrac{(a+b-c) + (b+c-a) + (c+a-b)}{c + a + b} = \dfrac{a+b+c}{a+b+c} = 1$
Từ đó suy ra:
$\dfrac{a+b-c}{c} = 1 \Rightarrow a+b-c = c \Rightarrow a+b = 2c$
$\dfrac{b+c-a}{a} = 1 \Rightarrow b+c-a = a \Rightarrow b+c = 2a$
$\dfrac{c+a-b}{b} = 1 \Rightarrow c+a-b = b \Rightarrow c+a = 2b$
Ta biến đổi biểu thức $B$:
$B = \left(1 + \dfrac{b}{a}\right)\left(1 + \dfrac{a}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{b}\right)$
$B = \left(\dfrac{a+b}{a}\right)\left(\dfrac{c+a}{c}\right)\left(\dfrac{b+c}{b}\right)$
$B = \dfrac{(a+b)(c+a)(b+c)}{abc}$
Thay $a+b = 2c$, $c+a = 2b$, $b+c = 2a$ vào biểu thức $B$, ta được:
$B = \dfrac{2c \cdot 2b \cdot 2a}{abc}$
$B = \dfrac{8abc}{abc}$
$B = 8$
Vậy $B = 8$.
