Bài toán: Cho $g(x)$ là hàm số xác định với mọi số thực $x$. Biết $g(a+b) = g(a.b)$ với mọi số thực $a,b$ và $g(1) = 2022$. Tính $g(2023)$.
Lời giải:
Theo giả thiết, ta có:
$g(a+b) = g(ab) \quad (1)$
(đúng với mọi số thực $a, b$)
Thay $b = 0$ vào đẳng thức $(1)$, ta được:
$g(a+0) = g(a \cdot 0)$
$\Leftrightarrow g(a) = g(0)$
Vì điều này đúng với mọi số thực $a$, nên ta suy ra $g(x)$ là một hàm hằng (tức là hàm số luôn nhận một giá trị không đổi với mọi biến $x$).
Mặt khác, theo đề bài ta có:
$g(1) = 2022$
Do $g(a) = g(0)$ với mọi số thực $a$, nên khi chọn $a = 1$, ta có:
$g(1) = g(0) = 2022$
Suy ra: $g(x) = 2022$ với mọi số thực $x$.
Vậy, giá trị cần tìm là:
$g(2023) = 2022$
