Bài toán: Cho $a,b,c$ là ba số thực khác $0$, thỏa mãn: $\dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b}$ và $a+b+c \neq 0$. Tính giá trị của biểu thức: $B = \left(1 + \dfrac{b}{a}\right)\left(1 + \dfrac{a}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{b}\right)$ Lời giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau (với $a+b+c \neq 0$), ta có: $\dfrac{a+b-c}{c} = […]
Bài toán: Cho $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$. Tính giá trị biểu thức: $C = \dfrac{5x^2 + 3y^2}{10x^2 – 3y^2}$ Lời giải: Đặt $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = k$ $\Rightarrow x = 3k; \quad y = 5k$ Thay $x = 3k$ và $y = 5k$ vào biểu thức $C$, ta được: $C = \dfrac{5(3k)^2 + 3(5k)^2}{10(3k)^2 – 3(5k)^2}$ $C […]
Bài toán: Cho $q(x) = x^8 – 101x^7 + 101x^6 – 101x^5 + \dots + 101x^2 – 101x + 2022$. Tính $q(100)$. Lời giải: Ta cần tính $q(100)$, tức là $x = 100 \Rightarrow 101 = x + 1$. Thay $101 = x + 1$ vào đa thức $q(x)$, ta có: $q(x) = x^8 – (x […]
Bài toán: Chứng tỏ rằng: nếu $a – b + c = 0$ thì $x = -1$ là nghiệm của đa thức $f(x) = ax^2 + bx + c$. Lời giải: Ta có: $f(x) = ax^2 + bx + c$ Thay $x = -1$ vào đa thức $f(x)$, ta được: $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + […]
Bài toán: Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, nếu biết: $\dfrac{7a – 11b}{4a + 5b} = \dfrac{7c – 11d}{4c + 5d}$ Lời giải: Điều kiện: $4a + 5b \neq 0$ và $4c + 5d \neq 0$ (để các phân thức có nghĩa). $\dfrac{7a – 11b}{4a + 5b} = \dfrac{7c – 11d}{4c + 5d}$ $\Rightarrow (7a – […]
Bài toán: Tính giá trị của đa thức $G = x^{2023} + 7x^{2022} + x^{2021} + 7x^{2020} + 2021$ tại $x = -7$. Lời giải: Ta có đa thức: $G = x^{2023} + 7x^{2022} + x^{2021} + 7x^{2020} + 2021$ Tiến hành nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung: $G = (x^{2023} + […]
Bài toán: Cho $g(x)$ là hàm số xác định với mọi số thực $x$. Biết $g(a+b) = g(a.b)$ với mọi số thực $a,b$ và $g(1) = 2022$. Tính $g(2023)$. Lời giải: Theo giả thiết, ta có: $g(a+b) = g(ab) \quad (1)$ (đúng với mọi số thực $a, b$) Thay $b = 0$ vào đẳng thức $(1)$, […]
Bài toán: Cho đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a$ là số nguyên dương. Biết $f(5) – f(4) = 2020$. Chứng minh $f(7) – f(2)$ là hợp số. Lời giải: Xét đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Ta có: $f(5) = a \cdot 5^3 […]
Bài toán: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thoả mãn $2020^x + 2022y = 2023$. Bài làm Với $x, y \in \mathbb{Z}$, xét phương trình: $2020^x + 2022y = 2023 \quad (1)$ Trường hợp 1: $x < 0$ Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x < 0$ nên $2020^x$ là một phân số không nguyên. Mặt khác, […]
Bài toán: Hầu hết vi khuẩn sinh sản bằng cách nhân đôi. Cứ sau 1 giây, một con vi khuẩn ban đầu sẽ nhân đôi biến thành 2 con, thì sau 15 giây số lượng vi khuẩn là bao nhiêu con? Hướng dẫn giải: Bài toán này là một ứng dụng rất hay của bài học […]