Việc tách theo dấu của $x$ rất hiệu quả vì $2020^x$ có bản chất khác nhau khi $x<0$, $x=0$ và $x\ge1$.
Ý tưởng loại từng trường hợp của x
- Nếu $x<0$, $2020^x$ là phân số dương không nguyên; cộng với số nguyên $2022y$ không thể cho số nguyên 2023.
- Nếu $x=0$, phương trình trở thành $1+2022y=2023$, suy ra $y=1$.
- Nếu $x\ge1$, cả $2020^x$ và $2022y$ đều chẵn, nên vế trái chẵn trong khi 2023 lẻ.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thoả mãn $2020^x + 2022y = 2023$.
Bài làm
Với $x, y \in \mathbb{Z}$, xét phương trình:
$2020^x + 2022y = 2023 \quad (1)$
- Trường hợp 1: $x < 0$
Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x < 0$ nên $2020^x$ là một phân số không nguyên.
Mặt khác, vì $y \in \mathbb{Z}$ nên $2022y$ là một số nguyên.
Suy ra vế trái $2020^x + 2022y$ không phải là một số nguyên.
Điều này mâu thuẫn với vế phải là số nguyên $2023$.
Do đó, trường hợp này loại.
- Trường hợp 2: $x = 0$
Thay $x = 0$ vào phương trình $(1)$, ta có:
$2020^0 + 2022y = 2023$
$1 + 2022y = 2023$
$2022y = 2022$
$y = 1$
Giá trị $y = 1$ thoả mãn điều kiện $y \in \mathbb{Z}$.
Vậy $(0, 1)$ là một nghiệm nguyên của phương trình.
- Trường hợp 3: $x \ge 1$
Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x \ge 1$ nên $2020^x$ là một số nguyên chẵn (do cơ số $2020$ chẵn).
Với mọi số nguyên $y$, tích $2022y$ luôn là một số nguyên chẵn (do $2022$ chia hết cho $2$).
Suy ra vế trái $2020^x + 2022y$ là tổng của hai số chẵn, nên vế trái luôn là một số chẵn.
Tuy nhiên, vế phải $2023$ là một số lẻ.
Một số chẵn không thể bằng một số lẻ, điều này vô lý.
Do đó, trường hợp này không có nghiệm.
Kết luận:
Vậy phương trình đã cho có cặp nghiệm nguyên duy nhất là $(x, y) = (0, 1)$.
Lưu ý và cách kiểm tra
Do ba trường hợp đã phủ hết mọi số nguyên x, nghiệm $(0,1)$ là duy nhất. Thay lại: $2020^0+2022\times1=1+2022=2023$.
