Bài toán: Cho đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với $a$ là số nguyên dương.
Biết $f(5) – f(4) = 2020$. Chứng minh $f(7) – f(2)$ là hợp số.
Lời giải:
Xét đa thức $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
Ta có:
$f(5) = a \cdot 5^3 + b \cdot 5^2 + c \cdot 5 + d = 125a + 25b + 5c + d$
$f(4) = a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 + d = 64a + 16b + 4c + d$
Theo giả thiết $f(5) – f(4) = 2020$, ta suy ra:
$(125a + 25b + 5c + d) – (64a + 16b + 4c + d) = 2020$
$\Leftrightarrow 61a + 9b + c = 2020 \quad (1)$
Tiếp tục tính $f(7)$ và $f(2)$:
$f(7) = a \cdot 7^3 + b \cdot 7^2 + c \cdot 7 + d = 343a + 49b + 7c + d$
$f(2) = a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2 + d = 8a + 4b + 2c + d$
Xét hiệu $f(7) – f(2)$, ta được:
$f(7) – f(2) = (343a + 49b + 7c + d) – (8a + 4b + 2c + d)$
$f(7) – f(2) = 335a + 45b + 5c$
$f(7) – f(2) = 5(67a + 9b + c)$
Tách hạng tử $67a$ thành $61a + 6a$ để tận dụng giả thiết (1):
$f(7) – f(2) = 5[(61a + 9b + c) + 6a]$
Thay $(1)$ vào biểu thức trên, ta có:
$f(7) – f(2) = 5(2020 + 6a)$
Theo đề bài, $a$ là số nguyên dương nên $a \ge 1$.
Suy ra $2020 + 6a \ge 2026$, tức là $2020 + 6a$ là một số nguyên lớn hơn 1.
Như vậy, $f(7) – f(2)$ là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 (gồm số 5 và số $2020 + 6a$).
Kết luận: $f(7) – f(2)$ có nhiều hơn 2 ước, do đó nó là một hợp số (Điều phải chứng minh).
