Bài toán yêu cầu chứng minh một đường trung trực luôn đi qua điểm cố định, chỉ dùng kiến thức tam giác bằng nhau và tính chất đường trung trực phù hợp Toán lớp 7.
Đề bài
Cho góc xAy khác góc bẹt. Az là tia phân giác của góc xAy, B cố định trên tia Ax. Điểm C chuyển động trên đoạn AB, điểm D chuyển động trên tia Ay sao cho AD = BC. Chứng minh đường trung trực của CD luôn đi qua một điểm cố định.
Dựng điểm cố định
Gọi O là giao điểm của tia Az với đường trung trực của AB. Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên:
OA = OB.
Điểm O chỉ phụ thuộc vào góc xAy và điểm B cố định, nên O là một điểm cố định.
Chứng minh OC = OD
Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O, suy ra ∠OAB = ∠ABO.
Mặt khác Az là tia phân giác của góc xAy nên ∠OAD = ∠OAB. Do C nằm trên AB nên tia BC cùng hướng với BA, vì vậy ∠OBC = ∠OBA.
Suy ra ∠OAD = ∠OBC. Kết hợp OA = OB và AD = BC, hai tam giác OAD và OBC bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Do đó OD = OC.
Kết luận
Vì OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD. O là điểm cố định, do đó đường trung trực của CD luôn đi qua điểm cố định O.
