Bài hình học này sử dụng kiến thức góc, tứ giác nội tiếp và đường phân giác để chứng minh một điểm cách đều ba cạnh của tam giác.
Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh H cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
Chứng minh EH là đường phân giác
Vì AD ⟂ BC và BE ⟂ AC nên ∠CDH = ∠CEH = 90°. Suy ra C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, do đó:
∠DEH = ∠DCH.
Tương tự, vì BE ⟂ AC và CF ⟂ AB nên A, E, H, F cùng thuộc một đường tròn, suy ra:
∠HEF = ∠HAF.
Mà CH ⟂ AB và AH ⟂ BC nên ∠DCH = ∠HAF = 90° – ∠ABC. Vậy ∠DEH = ∠HEF, nên EH là phân giác của ∠DEF.
Xét hai đường phân giác còn lại
Lập luận tương tự cho hai đỉnh D và F cho thấy DH và FH cũng là các đường phân giác của tam giác DEF.
Kết luận
Vì tam giác ABC nhọn nên H nằm trong tam giác DEF. Ba đường phân giác của tam giác DEF cùng đi qua H, vì vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Do đó khoảng cách từ H đến ba cạnh DE, EF và FD bằng nhau. Điều phải chứng minh.
