Bài toán: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: $9^y = 4x^2 + 3x + 2 \quad (1)$
Lời giải:
Xét phương trình:
$9^y = 4x^2 + 3x + 2 \quad (1)$
Vì $y$ là số nguyên dương nên $9^y = (3^y)^2$ là một số chính phương.
Với $x$ là số nguyên dương ($x \ge 1$), ta chặn biểu thức $4x^2 + 3x + 2$ giữa hai bình phương liên tiếp như sau:
Ta có $(2x)^2 = 4x^2$. Vì $x \ge 1$ nên $3x + 2 > 0$, do đó:
$4x^2 < 4x^2 + 3x + 2 \Leftrightarrow (2x)^2 < (3^y)^2 \quad (*)$
Tiếp tục xét hiệu giữa $(2x + 1)^2$ và $(4x^2 + 3x + 2)$:
$(2x + 1)^2 – (4x^2 + 3x + 2) = (4x^2 + 4x + 1) – (4x^2 + 3x + 2) = x – 1$
- Trường hợp 1: Nếu $x > 1$
Khi đó $x – 1 > 0$, suy ra:
$4x^2 + 3x + 2 < (2x + 1)^2 \Leftrightarrow (3^y)^2 < (2x + 1)^2 \quad (**)$
Kết hợp $(*)$ và $(**)$, với $x > 1$, ta có:
$(2x)^2 < (3^y)^2 < (2x + 1)^2$
Điều này vô lý vì $(3^y)^2$ là một số chính phương, không thể nằm ngặt giữa hai số chính phương liên tiếp là $(2x)^2$ và $(2x + 1)^2$. Do đó, phương trình không có nghiệm nguyên dương với $x > 1$.
- Trường hợp 2: Nếu $x = 1$
Thay $x = 1$ vào phương trình $(1)$, ta được:
$9^y = 4 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 2$
$\Leftrightarrow 9^y = 9$
$\Leftrightarrow y = 1$
Giá trị $y = 1$ thỏa mãn điều kiện là số nguyên dương.
Kết luận:
Vậy cặp số nguyên dương $(x; y)$ duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $(1; 1)$.
