Bất đẳng thức AM–GM so sánh trung bình cộng và trung bình nhân của các số không âm. Đây là công cụ cơ bản để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi biểu thức có thể đưa về tổng hoặc tích phù hợp.
Điều kiện và dạng thường dùng của AM–GM
Với hai số không âm $a,b$, ta có $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$, hay $a+b\ge2\sqrt{ab}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=b$. Với $n$ số không âm, trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân và dấu bằng xảy ra khi tất cả các số bằng nhau.
Khi áp dụng, cần kiểm tra điều kiện không âm trước. Nếu dùng AM–GM để tìm cực trị, ngoài việc tạo được cận trên hoặc cận dưới còn phải kiểm tra xem điều kiện xảy ra dấu bằng có thỏa mãn các ràng buộc của bài toán hay không.
Cho $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ là $n$ số thực không âm, khi đó ta có:
$\dfrac{x_{1}+x_{2}+\ldots,+x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \ldots x_{n}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{n}$
Bất đẳng thức này còn có thể được phát biểu dưới dạng
$x_{1}+x_{2}+\ldots,+x_{n} \geq n \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \ldots x_{n}}$
Hoặc
$\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}+\ldots,+x_{n}}{n}\right)^{n} \geq x_{1} x_{2} \ldots x_{n}$
Ghi nhớ khi làm bài
Một lỗi phổ biến là áp dụng AM–GM cho số âm hoặc tìm được một cận nhưng dấu bằng không thể xảy ra. Vì vậy, điều kiện của biến và điều kiện dấu bằng phải được viết rõ trong lời giải.
Bài tập liên quan
Bạn có thể xem thêm bất đẳng thức Cô-si cho 2, 3, 4 số không âm, các bất đẳng thức lớp 6–9 và 19 phương pháp chứng minh bất đẳng thức để luyện các dạng bài liên quan.
