Trong nhiều tài liệu phổ thông Việt Nam, bất đẳng thức AM-GM thường được gọi là bất đẳng thức Cô-si. Công thức so sánh trung bình cộng với trung bình nhân và chỉ áp dụng trực tiếp khi các số đang xét không âm.
Công thức tổng quát và điều kiện dấu bằng
Với $n$ số không âm $a_1,\ldots,a_n$, ta có $\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots=a_n$.
- Hai số: $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$.
- Ba số: $\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}$.
- Bốn số: $\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm
$\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm
$\dfrac{a+b+c+d}{4} \geq \sqrt[4]{a b c d}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
Lưu ý và cách kiểm tra
Khi dùng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, cần kiểm tra cả điều kiện không âm và điều kiện để dấu bằng xảy ra. Không nên chỉ viết bất đẳng thức mà bỏ qua điểm rơi.
