Cauchy–Schwarz và AM-GM là hai bất đẳng thức khác nhau dù trong một số tài liệu tiếng Việt cách gọi “Cô-si” dễ gây nhầm. Khi chứng minh bất đẳng thức lượng giác, cần xác định chính xác dạng đang sử dụng và điều kiện của các đại lượng.
Dạng Cauchy–Schwarz thường dùng
Một dạng quen thuộc là $(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)\ge(a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2$. Dạng Engel là $\sum x_i^2/a_i\ge(\sum x_i)^2/(\sum a_i)$ với $a_i>0$.
Trong lượng giác, thường cần ghép các biểu thức $\sin$, $\cos$ thành các tổng bình phương hoặc phân thức phù hợp. Hai hình bên dưới minh họa cách áp dụng vào bài cụ thể.
Nội dung bài toán và lời giải
Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz được sử dụng rộng rãi trong các bài toán chứng minh BĐT lượng giác. Cùng tham khảo các ví dụ dưới đây.
Chú ý là BĐT Cosi chỉ áp dụng với số thực không âm.
Lưu ý khi làm bài
AM-GM chỉ áp dụng trực tiếp cho các số không âm; Cauchy–Schwarz không đồng nhất với AM-GM. Vì vậy cần ghi đúng tên và đúng điều kiện của bất đẳng thức dùng trong lời giải.
