Bất đẳng thức Bunhiacốpxki (Cauchy–Schwarz) thường được dùng để đánh giá tổng bình phương hoặc tích vô hướng. Trong bất đẳng thức lượng giác, công cụ này đặc biệt hữu ích khi biểu thức chứa nhiều số hạng sin, cos có thể ghép thành các cặp.
Dạng thường dùng của bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Với các số thực $a_i,b_i$:
$\displaystyle (a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$.
Một dạng quen thuộc khác là:
$\displaystyle (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\le n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)$.
Cách nhận biết khi dùng trong bài lượng giác
- Biểu thức có tổng nhiều số hạng cùng cấu trúc.
- Có thể dùng $\sin^2x+\cos^2x=1$ sau khi bình phương.
- Cần chặn trên hoặc chặn dưới một tổng bằng cách đưa về tổng bình phương.
- Có thể xác định rõ trường hợp xảy ra dấu bằng.
Ví dụ chứng minh bất đẳng thức lượng giác
Các hình dưới đây là lời giải minh họa gốc. Khi đọc, hãy chú ý cách chọn hai dãy số để áp dụng Cauchy–Schwarz và bước dùng các đẳng thức lượng giác.
Ghi nhớ
Không nên bình phương hai vế tùy ý nếu chưa biết dấu. Khi áp dụng Bunhiacốpxki, cần viết rõ các dãy số được ghép và kiểm tra điều kiện dấu bằng để lời giải chặt chẽ.
Tham khảo thêm BĐT Jensen trong lượng giác, phương pháp hệ số bất định UCT và Toán Trung học phổ thông.
