Hàm số trùng phương có dạng \(y=ax^4+bx^2+c\) với \(a\ne0\). Khi khảo sát, cần chú ý hàm chỉ chứa lũy thừa chẵn nên đồ thị nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Quy trình khảo sát hàm số trùng phương
Thực hiện lần lượt: tìm tập xác định; tính giới hạn khi \(x\to\pm\infty\); tính đạo hàm; tìm các điểm tới hạn; lập bảng biến thiên; xác định giao với các trục rồi vẽ đồ thị.
Ví dụ: \(y=x^4-2x^2-3\)
Ta có:
\(y’=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\).
Do đó \(y’=0\) khi \(x=-1,0,1\). Các giá trị tương ứng là:
\(y(-1)=-4,\quad y(0)=-3,\quad y(1)=-4\).
Hàm giảm trên \((-\infty,-1)\), tăng trên \((-1,0)\), giảm trên \((0,1)\), tăng trên \((1,+\infty)\). Khi \(x\to\pm\infty\), \(y\to+\infty\).
Giao điểm và dạng đồ thị
Cho \(y=0\): đặt \(t=x^2\ge0\), ta được \(t^2-2t-3=0\), suy ra \(t=3\). Vì vậy đồ thị cắt trục \(Ox\) tại \(x=\pm\sqrt3\), và cắt trục \(Oy\) tại \((0,-3)\).
Bốn dạng đồ thị thường gặp
Dấu của \(a\) quyết định hai nhánh ngoài hướng lên hay xuống; số nghiệm dương của phương trình \(2ax^2+b=0\) quyết định số điểm cực trị. Hình dưới đây minh họa các dạng cơ bản.
