Khảo sát hàm số $\displaystyle y=\frac{x-2}{x-1}$ cần chú ý đặc biệt đến hai giới hạn một phía tại $x=1$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nhưng bị gián đoạn tại tiệm cận đứng.
Tập xác định và đạo hàm
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Ta có:
$\displaystyle y’=\frac{1}{(x-1)^2}>0$ với mọi $x\in D$.
Vì vậy, hàm số đồng biến trên $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
Giới hạn và các đường tiệm cận
Khi $x\to\pm\infty$:
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to-\infty}y=1$.
Do đó $y=1$ là tiệm cận ngang.
Tại $x=1$:
- $\displaystyle \lim_{x\to1^-}y=+\infty$.
- $\displaystyle \lim_{x\to1^+}y=-\infty$.
Vì vậy $x=1$ là tiệm cận đứng. Hai giới hạn một phía trái dấu, không được gộp thành một giới hạn hai phía.
Giao điểm với các trục và tâm đối xứng
- Cho $y=0$ được $x=2$, nên đồ thị cắt $Ox$ tại $(2;0)$.
- Cho $x=0$ được $y=2$, nên đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;2)$.
- Giao hai tiệm cận là $I(1;1)$, cũng là tâm đối xứng của đồ thị.
Bảng biến thiên
Ghi nhớ
Có thể viết $\displaystyle y=1-\frac{1}{x-1}$. Dạng này giúp nhìn nhanh hai tiệm cận $x=1$, $y=1$ và tâm đối xứng $I(1;1)$.
Tham khảo thêm khảo sát $y=(x+1)/(x-2)$, khảo sát $y=(x+3)/(x+1)$ và chuyên mục Toán lớp 12.
