Hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có thể viết thành $y=2+\dfrac{1}{x-1}$. Dạng này cho thấy ngay tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=2$ và tâm đối xứng là giao điểm $I(1;2)$ của hai tiệm cận.
Kiểm tra đạo hàm và các giới hạn
Ta có $y\prime=-\dfrac{1}{(x-1)^2}<0$ với mọi $x e1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Khi $x\to\pm\infty$, $\dfrac1{x-1}\to0$, do đó $y\to2$.
Ở tiệm cận đứng, hai giới hạn một phía khác dấu: $\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to1^-}y=-\infty$. Đây là điểm cần ghi đúng để bảng biến thiên và hình dạng hai nhánh đồ thị không bị đảo.
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{2x-1}}{{x-1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-1}{(x-1)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to1^+} y=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to 1^-} y=-\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Ghi nhớ khi làm bài
Với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, phép chia hoặc biến đổi về dạng $a+\dfrac{k}{x-x_0}$ thường giúp nhận nhanh hai tiệm cận trước khi khảo sát chi tiết.
Bài tập liên quan
Bạn có thể xem thêm khảo sát y = (x+1)/(x-2), khảo sát y = (x-2)/(x-1) và khảo sát hàm số bậc ba để luyện các dạng bài liên quan.
