Bài toán thuộc chương trình THPT, cần chú ý điều kiện và tính chính xác của các bước biến đổi.
Xác định đặc trưng của hàm số
Trước khi vẽ hoặc khảo sát, cần xác định tập xác định và các điểm đặc biệt cần thiết. Với bài khảo sát ở THPT, bảng biến thiên phải khớp với dấu đạo hàm và các giới hạn đã tính.
Đề bài và lời giải
Bài toán: Khảo sát hàm số $y=x^3-3x+1$ và $y=-x^3-3x+1$.
Giải:
Khảo sát hàm số $y=x^3-3x+1$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=3x^2+0x-3$
$ y\prime=0 \Leftrightarrow x=-1$ hoặc $ x=1$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $ x= -1$, giá trị cực đại của hàm số là $ y(-1)=3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $ x= 1$, giá trị cực tiểu của hàm số là $ y(1)=-1$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =-\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =+\infty$
Bảng biến thiên:
khảo sát hàm số $y=-x^3-3x+1$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$
Chiều biến thiên:
Ta có: $ y\prime=-3x^2+0x-3$
$ y\prime \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\lim\limits_{x\to -\infty } =+\infty$; $\lim\limits_{x\to +\infty } =-\infty$
Bảng biến thiên:
