Hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Khi khảo sát, cần tách rõ hai khoảng xác định vì tại $x=1$ hàm không xác định và hai giới hạn một phía có dấu khác nhau.
Các bước khảo sát hàm phân thức
Ta có $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ và $y\prime=-\dfrac{3}{(x-1)^2}<0$ trên từng khoảng xác định, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty,1)$ và $(1,+\infty)$. Khi $x\to\pm\infty$, $y\to2$, do đó $y=2$ là tiệm cận ngang.
Tại $x=1$, tử số tiến tới 3. Vì mẫu dương khi $x\to1^+$ và âm khi $x\to1^-$ nên $\lim_{x\to1^+}y=+\infty$ còn $\lim_{x\to1^-}y=-\infty$. Vì vậy $x=1$ là tiệm cận đứng.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Khảo sát hàm số $ \displaystyle y=\dfrac{{2x+1}}{{x-1}}$
Giải:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \{1\}$
Ta có: $ y\prime=\dfrac {-3}{(x-1)^2}<0 \forall x \in D \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$
Giới hạn, tiệm cận:
$\lim\limits_{x\to +\infty } y=\lim\limits_{x\to -\infty } y=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
$\lim\limits_{x\to1^+} y=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to 1^-} y=-\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Lưu ý khi làm bài
Tại $x=1$, giới hạn bên trái là $-\infty$ còn giới hạn bên phải là $+\infty$. Cần phân biệt hai giới hạn một phía để lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị chính xác.
