Bài toán tìm giá trị lớn nhất lớp 8 có thể xử lý bằng cách biến đổi biểu thức về dạng “một số cố định trừ một bình phương không âm”. Trước hết cần ghi điều kiện $x != 1$ vì mẫu có $(x-1)^2$.
Biến đổi về bình phương
Biểu thức được đưa về dạng $4-(1/(x-1)-1)^2$. Vì bình phương luôn không âm nên biểu thức không vượt quá 4.
Khi nào đạt giá trị lớn nhất?
Dấu bằng xảy ra khi $1/(x-1)-1=0$, suy ra $x=2$, thỏa điều kiện. Vậy GTLN bằng 4 khi x=2.
Bài toán và lời giải
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}-4x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$
Lời giải:
$ \displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}-4x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=\frac{{3\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)+2(x-1)-1}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=3+\frac{2}{{x-1}}-\frac{1}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=4-{{\left( {\frac{1}{{x-1}}-1} \right)}^{2}}\le 4$
Dấu “=” xảy ra ⇔ $x – 1 = 1$ ⇔ $x = 2$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là $4$ khi $x = 2$.
