Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}-4x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}$
Lời giải:
$ \displaystyle \frac{{3{{x}^{2}}-4x}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=\frac{{3\left( {{{x}^{2}}-2x+1} \right)+2(x-1)-1}}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=3+\frac{2}{{x-1}}-\frac{1}{{{{{(x-1)}}^{2}}}}=4-{{\left( {\frac{1}{{x-1}}-1} \right)}^{2}}\le 4$
Dấu “=” xảy ra ⇔ $x – 1 = 1$ ⇔ $x = 2$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là $4$ khi $x = 2$.
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của đa thức sau: $ A=6x-{{x}^{2}}-11$
Giải:
Hướng dẫn: Đưa về hằng đẳng thức thứ hai.
$ A=6x-{{x}^{2}}-11=-({{x}^{2}}-6x+9)-2$
$ \,A\,\,=-\left[ {{{{(x-3)}}^{2}}+2} \right]\le -2$ với mọi $ x$.
Giá trị lớn nhất của A là -2 ⇔ $ x-3=0\Leftrightarrow x=3$