Với đa thức bậc hai có hệ số của $x^2$ âm, cách nhanh để tìm giá trị lớn nhất là biến đổi về dạng một hằng số trừ đi một bình phương. Vì bình phương luôn không âm, ta xác định được cận trên và điều kiện xảy ra dấu bằng.
Đưa đa thức về bình phương hoàn chỉnh
Ta có $A=6x-x^2-11=-(x^2-6x+9)-2=-(x-3)^2-2$. Do $(x-3)^2\ge0$ nên $-(x-3)^2\le0$, suy ra $A\le-2$.
Dấu bằng xảy ra khi $(x-3)^2=0$, tức $x=3$. Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $-2$.
Nội dung bài toán và lời giải
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của đa thức sau: $ A=6x-{{x}^{2}}-11$
Giải:
Hướng dẫn: Đưa về hằng đẳng thức thứ hai.
$ A=6x-{{x}^{2}}-11=-({{x}^{2}}-6x+9)-2$
$ \,A\,\,=-\left[ {{{{(x-3)}}^{2}}+2} \right]\le -2$ với mọi $ x$.
Giá trị lớn nhất của A là -2 ⇔ $ x-3=0\Leftrightarrow x=3$
Lưu ý khi làm bài
Khi tìm GTLN hoặc GTNN bằng bình phương hoàn chỉnh, cần ghi cả cận của biểu thức và điều kiện để đạt cận. Chỉ viết “bình phương không âm” mà thiếu điều kiện dấu bằng thì lời giải chưa hoàn chỉnh.
